整式P(ｘ)が（ｘ-α）^2で割り切れる条件

質問

整式P(ｘ)が（ｘ-α）^2で割り切れるための必要十分条件は何でしょうか？
私は「P'(α)＝0」ではないかと思ったのですが、これについては必要性は簡単に示せるのですが、十分性が示せません。

十分性の証明やもしくは反例などが分かる方、よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

必要十分条件は
「P'(α)＝0」かつ「P(α)＝0」
ですね。
「P'(α)＝0」は必要条件であっても十分条件にはなっていませんね。

P(x)=Q(x)(x-α)^2+a(x-α)+b
とおけるので
「P'(α)＝0」だけでは a=0となるが、
b≠0だとP(x)は明らかに(x-α)^2　で割り切れないことになる。
「P(α)=0」でb=0となり、P(x)は(x-α)^2　で割り切れるといえる。

お礼

大変よく分かりました！
どうもありがとうございました！