一般にP,Qがxについてのn次式以下の整式であると

質問

一般にP,Qがxについてのn次式以下の整式であるとき、等式P=Qがn+1個の異なるxの値に対して成り立つならば、こも等式はxについて恒等式である。

とありますが、この命題はなぜ成り立つのでしょうか？

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

P-Q で表される多項式を R とする。
R は xについて n次以下の多項式である。
R=0 が n+1 個の異なる x の値 a_1 , ... , a_(n+1) に対して 0 となるとき、多項式Rは互いに異なる1次式
(x-a_1) , ... , ( x - a_(n+1) ) を因数にもつので、多項式Sを用いて
R = (x-a_1)× ... ×( x - a_(n+1) ) × S
と表される。
ここでRがn次以下の多項式であることより S=0 となる。
よって P-Q=0 すなわち P=Q となる。

…でいかがでしょうか。

回答No.1

jcpmutura

P(x)=Σ_{k=0～n}p(k)x^k
Q(x)=Σ_{k=0～n}q(k)x^k
n+1個の異なるxの値を
{x(j)}_{j=0～n}
とすると
j=0～nに対して
P(x(j))=Q(x(j))
だから
Σ_{k=0～n}p(k){x(j)}^k=Σ_{k=0～n}q(k){x(j)}^k
だから
Σ_{k=0～n}p(k){x(j)}^k-Σ_{k=0～n}q(k){x(j)}^k=0
Σ_{k=0～n}{p(k)-q(k)}{x(j)}^k=0
n+1次元縦ベクトルを
Y={p(k)-q(k)}_{k=0～n}
とする
(n+1)*(n+1)の正方行列を
A=([{x(j)}^k]_{k=0～n})_{j=0～n}
とすると
AY=0…………(1)
となる
異なるi≠jに対して
Aのi行ベクトルを
A(i)=[{x(i)}^k]_{k=0～n}
Aのj行ベクトルを
A(j)=[{x(j)}^k]_{k=0～n}
として
sA(i)+tA(j)=0
となるs,tがあるとすると
s+t=s{x(i)}^0+t{x(j)}^0=0
s≠0を仮定すると
t=-sだから
s{x(i)-x(j)}=s{x(i)}^1+t{x(j)}^1=0
s≠0だから両辺をsで割ると
x(i)-x(j)=0
両辺にa(j)を加えると
x(i)=x(j)
となってi≠jだから
{x(j)}_{j=0～n}がn+1個の異なるxの値である事に矛盾するから
s=0
t=-s=0
だから
t=0となって
A(i)とA(j)は1次独立となる
Aの異なる行ベクトルが1次独立だから
Aは正則だから
Aの逆行列A^{-1}が存在するから(1)の
AY=0の両辺に左からA^{-1}をかけると
Y=A^{-1}AY=A^{-1}0=0
Y=0
Y={p(k)-q(k)}_{k=0～n}=0
だから
k=0～nに対して
p(k)-q(k)=0
だから
P(x)-Q(x)
=Σ_{k=0～n}p(k)x^k-Σ_{k=0～n}q(k)x^k
=Σ_{k=0～n}{p(k)-q(k)}x^k
=0
だから
P(x)-Q(x)=0
両辺にQ(x)を加えると
∴
P(x)=Q(x)
この等式はxについて恒等式である