整式の割り算

質問

すみませんw答えを教えてほしいです。
ある整式をx+2,(x+1)^3で割ったときのあまりは、それぞれ３，x^2-x+1であるとするとき、ある整式を(x+1)^2で割ったあまりをax+bとするときa,bを求めなさい。
また、ある整式を(x+2)(x+1)^2で割ったあまりを求めなさい。

※^は乗のことです。

できれば、解法と共にお願いいたします。

回答No.4

info22

#3です。
A#3の補足の質問について

>下の方でなぜf(x)を微分したのでしょうか？
割る式に(x-k)^n (n≧2)の項が含まれる時に(n-1)回までの微分を使う一般的な方法です。余りの項の未定係数を決めるのに使われるます。

>あと微分したときの答えがなぜ-3とわかるのですか？
f(x)=Q(x)(x+1)^3+x^2-x+1=Q(x)(x+1)^3+(x+1)^2-3x
を微分したら　f'(-1)=-3
が出てきませんか？

ヒントが分からなければ、教科書や参考書で多項式、整式関係の性質関係の復習、演習をやり直して基礎力をつけた方がいいかも知れません。

回答No.3

info22

質問者さんのやったことを補足に書いて、分からないところだけを質問して下さい。（このサイトの決まりなので。。。）

ヒント）
f(x)=Q(x)(x+1)^3+x^2-x+1=Q(x)(x+1)^3+(x+1)^2-3x
-3x=ax+b a=?, b=?
f(x)=P(x)(x+2)(x+1)^2+cx^2+dx+eとおく。

f(-2)=4c-2d+e=3 e=3-4c+2d
f(-1)=c-d+e=3
f'(-1)=-2c+d=-3
以上の３つの式を連立にして解けば
c=? , d=? , e=?
と出てきます。

あと、a,b,c,d,e　は自力で計算できますね。

補足

回答ありがとうございます。

下の方でなぜf(x)を微分したのでしょうか？
あと微分したときの答えがなぜ-3とわかるのですか？

数学苦手で変な質問でしたらごめんなさい。

回答No.2

owata-www

ある整式をf(x)として(x+1)^3で割った時の商をR(x)とすると

f(x)=(x+1)^3*R(x)+x^2-x+1
=(x+1)^3*R(x)+(x+1)^2-3x
=(x+1)^2*{(x+1)*R(x)+1}-3xとなります

同様にして(x+2)(x+1)^2で割った商をQ(x)とおくと
f(x)=(x+2)(x+1)^2*Q(x)+αx^2+βx+γ
=(x+2)(x+1)^2*Q(x)+α(x+1)^2-3x

あとはx=-2を代入するだけ

計算の確認等はご自分で

回答No.1

Tacosan

念の為ですが, 「ある整式 (ここでは f(x) としましょう) を (x+1)^3 で割ったときのあまりが x^2-x+1 である」ということが
f(x) = (x+1)^3P(x) + x^2-x+1 を満たす P(x) が存在する
ことと同値なのはいいでしょうか?
そしてこれがよければ前半は自明. 後半も難しくはない.