反無限媒質中の熱拡散方程式

質問

u_t=u_xx
u(0,t)=sint
u(x,0)=0

のラプラス変換による解答がほしいのですが、どなたかわかりませんか。
ラプラス変換した方程式を解くと

U(x,s)=(1/(s^2+1))exp((-√s)x)=(s/(s^2+1)×（exp((-√s)x)/s)

となり、これの逆変換すれば
costとerfc(x/2√t)の0～tの畳み込み積分がu(x,t)となりそうなのですが、これって解析可能っていうか、紙の上でできる計算なんですかね…？？
それともアプローチ自体が間違ってるのかな…。

どなたか意見ください、一年の温度変化に対する地中の温度をモデル化しているのですが…。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

「反無限」ってなんだろとワクワクしたら、「半無限」でしたか。 地中深くに数日前の昼間のぬくもりの痕跡ががかろうじて残ってる、って話ですね。
　方程式が線形ですから、
v_t=v_xx, v(x,0)=0, v(0,t)=1, lim[x→∞]v(x,t)=0 (t≧0, x≧0)
の解をv(x,t)とするとき、
u_t=u_xx, u(x,0)=0, u(0,t)=f(t), lim[x→∞]u(x,t)=0　(t≧0, x≧0)
の解は
u(x,t)=v(x,t)*f'(t) （"*"はconvolution、f'=df/dt)
になる。それ以上はどうしようもないでしょう。また、
v(x,t)=erfc(x/(2√t))
で合ってると思います。

お礼

反無限（＾＾）
がっかりさせて申し訳有りません。
以降漢字には気をつけます（＾＾）
ありがとうございました！