指数関数の逆ラプラス変換を教えてください

質問

F(s) = exp(-k*√s)/s^2　の逆ラプラス変換について手順も含めご教示ください。

上式の逆ラプラス変換を解くため、
以下の公式を使用して解けないか模索していますがうまくいきません。
下記以外の公式による方法でもよいですが、その場合は公式についてもご教示ください。
よろしくお願いいたします。

L^(-1)[exp(-k√s)/s]＝erfc( k/(2√t) )
F(s)/s＝L[∫_{0→t} f(t) dt]

を使ってできないか試みてますが、
余誤差関数erfc()または,公式erfc(y)=1-erf(y)で変換した誤差関数の積分が出来ずに躓きました。

回答No.4

Ae610 · ベストアンサー

F(s) = exp(-k*√s)/s^2において
合成積の公式を用いると・・・、
g(s)の逆ラプラス変換をinvL{g(s)}で表し、G(t)をg(s)の原関数とすれば
inv{g(s)/s^2} = ∫[0→t]∫[0→τ]{G(p)}dpdτ
= t・∫[0→t]{G(τ)}dτ－∫[0→t]{τG(τ)}dτ
・・・と表せる。

invL{exp(-k*√s)/s^2}
= t・∫[0→t]{(k/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτ－∫[0→t]{(kτ/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτ
= t・∫[0→t]{(k/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτ－∫[0→t]{(k/2(√(πτ)))exp(-k^2/4τ)}dτ

∫[0→t]{(k/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτでk/2√τ = xとでも置くと一項目の積分は
(2t/√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)}dx = (2t/√π)・erfc(k/2√t)

2項目の積分は部分積分の計算から
(k^2/2√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)/x^2}dx
= (k^2/2√π)・{(2√t/k)・exp(-k^2/4t)－2erfc(k/2√t)}

よって
invL{exp(-k*√s)/s^2}
= (2t/√π)・erfc(k/2√t)－(k^2/2√π)・{(2√t/k)・exp(-k^2/4t)－2erfc(k/2√t))
= (2t/√π)・erfc(k/2√t)＋(2k^2/√π)erfc(k/2√t)－(k√(t/π))・exp(-k^2/4t)

・・・となった。(計算ミスが無ければ!?)

invL{exp(-k*√s)} = (k/2(√(πt^3)))・exp(-k^2/4t)を用いた

お礼

ありがとうございます。
導出方法が分かりました。助かります。
答えは、Wolfram aphaで計算すると以下のようになります。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=InverseLaplaceTransform%5Bexp%28-k*s%5E0.5%29%2Fs%5E2%2Cs%2Ct%5D

ご教示頂いた式では余誤差関数の定義より
(2t/√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)}dx
　　= t・{(2/√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)}dx }＝t・erfc(k/2√t)
のみ修正するとWolfram aphaと全く同じになります。

回答No.3

drmuraberg

証明は
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~kobayashi/lt.pdf
の例５．２にあります。

回答No.2

drmuraberg

(2)式は、次のラプラス変換表4-1の(9)式です。
http://ceram.material.tohoku.ac.jp/~kamegawa/lec/fourier_h2503.pdf

お礼

早速のご回答を頂きありがとうございます。
この公式は、どのように導き出したかご存知でしょうか。
導き出し方をご教示頂けないでしょうか。
非常にすっきりした形であり、小生が示した公式のように特殊関数を使用しないで済むので助かります。
小生が質問欄に記載した公式は以下のリンクにあるものです。
自分自身でもそうなることを確認済みですが、そうすると。
(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t))=erfc( k/(2√t) )
が成り立つことになるのですが、これはどのように証明できるのでしょうか。

www.rinku.zaq.ne.jp/bkdit405/buturi/apma1.pdf
このファイルのP26

www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~yamasita/inverse-Laplace.pdf
このファイルの21式

回答No.1

drmuraberg

最後は指数関数の積分と云う形に成り、積分できずに終わるようです。

参考までに、計算例です

F(s) = exp(-k*√s)/s^2　　　　　　　　(1)

L^(-1)[ exp(-k√s)/s]=(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t)) (2)

(1)式より　s F(s) – f(0) = exp(-k*√s)/s – f(0)

逆変換の公式(2)より
L^(-1)[sF(s)-f(0)]= df(t)/dt
L^(-1)[exp(-k√s)/s – f(0)]＝(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t))– f(0)δ(t)

よって」
df(t)/dt = 1/√(πt))*exp(-k^2/(4t)) – f(0)δ(t)

f(t) =∫ exp(-k’/t)/ √t)dt/√π - f(0)
　　ここにｋ’=(k/2)^2
積分範囲0～t

お礼

ご回答いただきありがとうございます。嬉しいです。
ラプラス変換の微分公式を使う手があったんですね。勉強になります。
小生理解不足で申し訳ありません。
上の（２）式について教えてください。

小生質問に記載したL^(-1)[exp(-k√s)/s]＝erfc( k/(2√t) )ではなく

L^(-1)[ exp(-k√s)/s]=(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t))
となるのはなぜなのかご教示頂ければ嬉しいです。
よろしくお願いいたします。