ラプラス逆変換

質問

次の関数のラプラス逆変換を求めよ。

s / { (s-1)^3 }

模範解答

s / { (s-1)^3 } = 1/{ (s-1)^3 } + 1/{ (s-1)^2 } と展開できる。

L^(-1) [ 2/(s^3) ] = t^2
L^(-1) [ 1/(s^2) ] = t

などを用いれば、

L^(-1) [ s / { (s-1)^3 } ]
= L^(-1) [ 1/{ (s-1)^3 } + 1/{ (s-1)^2 } ]　　　　　←ここから
= (t^2)/2 * e^t + te^t　　　　　　　　　　　　　　　　←ここまでが分かりません
= (t/2 + 1) * te^t

・・・と本に書いてあります。
L^(-1) [ 1/{ (s-1)^3 } + 1/{ (s-1)^2 } ] から
= (t^2)/2 * e^t + te^t　になるまでの過程を教えてください。

L^(-1) [ 1/{ (s-1)^2 } ] の方は
L^(-1) [ 1/{ (s-a)^2 } ] = te^(at)
という問題があったので、そちらを使います。

ただ、L^(-1) [ 1/{ (s-1)^3 } ] はどれとどれの公式を使うのか分かりません。
特に3乗の部分が・・・それらも含めて教えてください。お願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

いやいや, さすがにそれはないよ....

ラプラス変換の方で
L[f(t)] = F(s) のとき L[f(t) e^(at)] = F(s-a)
って公式あるでしょ? 逆にいえば
L^(-1)[F(s-a)] = f(t) e^(at)
ってこと. これと
L^(-1)[2/s^3] = t^2
を組合せれば出るはずだね.

お礼

なるほど、あたかも「それで十分」という書き方だったので展開かと思ったのですが、結局、

> ん～と....
>
> L^(-1) [ 2/(s^3) ] = t^2
> では不十分ですか?

は不十分だったわけですね。
Tacosanさんから回答をいただくと、いつも遠回りになるんですよね…。
質問者の立場でこう言うのもどうかと思うのですが、あまり遠回りしている暇はないので、こちらから「ヒントだけをください」とでも言わない限り、次回からはズバリ回答でお願いします。そうでもしないと、Tcosanが一番最初に答えると他の回答者の方が後から答えることができませんから。
それでも最終的には教えてくださって助かっています。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

ん～と....

L^(-1) [ 2/(s^3) ] = t^2
では不十分ですか?

お礼

ありがとうございます。
あ、まさか・・・展開してから１項目ずつ解くということですか？

L^(-1) [ 1/{ (s-1)^3 } ]
= L^(-1) [ 1/{ s^3 - 3s^2 + 3s - 1 } ]
= L^(-1) [ 1/{s^3} - 1/{3s^2} + 1/3s - 1 } ]
= L^(-1) [ 1/{s^3} ] - L^(-1)[ 1/{3s^2} ] + L^(-1)[ 1/3s ] - L^(-1)[1]
= 1/2 * L^(-1) [ 2/{s^3} ] - 1/3 * L^(-1)[ 1/{s^2} ] + 1/3 * L^(-1)[ 1/s ] - L^(-1)[1]
= 1/2 * t^2 - 1/3 * t + 1/3 * 1 - L^(-1)[1]
= (t^2)/2 - t/3 + 1/3 - L^(-1)[1]

・・・ここまで出来ました！
でも、L^(-1)[1]だけ教えてください。
本に公式が載ってないです。
お願いします。