因果的なデルタ関数列のラプラス変換

質問

こんにちは。読んでくださってありがとうございます。
タイトルにあるように、因果的なデルタ関数列のラプラス変換を求めよ。
という問題が解けずに困っています。

問.次の関数のラプラス変換を求め、かつ極をs平面上で示せ。
δ(t)＝Σ[n=0→∞]δ(t-nT)

公式にあてはめて、
　　 ＝∫[0→∞]{Σ[n=0→∞]δ(t-nT)exp(-st)}dt
の次からもう分りません；

n＝0なら　＝{exp(-st)|t=0}＝1
n＝1なら　＝{exp(-st)|t=T}＝exp(-sT)
n＝2なら　＝{exp(-st)|t=2T}＝exp(-2sT)
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n＝∞なら ＝{exp(-st)|t=∞}＝exp(-s∞)＝0でしょうか？？
とするとΣ[n=0→∞]exp(-nsT)が答えなのですか・・？

Σがついたとたん、書き方も解き方も分りません；
どなたかご指導お願いします。
また、極をs平面上で示すとはどういう意味なのでしょうか；

よろしくおねがいします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

> n＝∞なら ＝{exp(-st)|t=∞}＝exp(-s∞)＝0でしょうか？？
ラプラス変換ではσ=Re s＞0と考えますので{exp(-st)|t=∞}=0となります。

> Σ[n=0→∞]exp(-nsT)が答えなのですか・・？
無限等比級数和の公式を使えば
Σ[n=0→∞]exp(-nsT)=1/(1-exp(-sT))となります。
これが答です。

> 極をs平面上で示すとはどういう意味なのでしょうか；
分母の零点を求めてs平面上にプロットすればいいと思いますが…。
零点は「exp(-st)=1」の解です。
exp(-sT)=1=exp(j2nπ）から
s=-j2nπ/T (n=0,±1,±2,...)
nは全ての正負の整数をとりますから「-」の符号は省いても同じです。
極のプロットは
s=j2nπ/T (n=0,±1,±2,...)
をプロットすればいいです。jは虚数単位ですから、極は、原点を中心に虚軸上に「2π/T」の間隔で上下に無限に並びます（勿論原点を含む）。

お礼

返事が遅くなりました。すいません；
丁寧にありがとうございます。
とても参考になりました。