単位階段関数について

質問

exp[-s]/(s^2(s+1))
の逆変換は、
第二移動定理を使って、
(t-1)u(t-1)+exp[-(t-1)]u(t-1)-u(t-1)
=(t-2)u(t-1)+exp[-(t-1)]u(t-1)

間違っているでしょうか？
一応、積分のラプラス変換も使ったんですが、exp[-s]は一回分しか作用しないから、u(t-1)というのがでてくるのはおかしいんでしょうか？
まず、exp[-s]/(s+1)の逆変換を行い、exp[-(t-1)]u(t-1)がでました。
しかし、それを積分すると、1-exp[-(t-1)]になりました。そしたら、u(t-1)というのが消えるじゃないですか。
そうすると、もう一回積分を行って、t+exp[t+1]+eになるんでしょうか？
よってu(t-1)が答えに入ってくるのはおかしい？

分りやすい解説をお願いします。

回答No.2

info22_

>exp[-s]/(s+1)から逆変換を行う場合、積分のラプラス変換の公式から、二回積
分しないといけないですよね。なぜなら、分母にs^2がかかっているからです。
∫(0~t)f(τ)dτを二回しなければいけないですよね？
u(t-1)があることで、一回目の積分は1~tの積分範囲になるけど、二回目の積分
を行うときは、u(t-1)はかかってないから、0~tの積分になるじゃないですか。

これの言っていることが意味不明です。

x(t-1)u(t-1)のラプラス変換Y(s)を考えると
Y(s)=∫[0,∞]x(t-1)u(t-1)exp(-st)dt
=∫[1,∞]x(t-1)exp(-st)dt
t=t'+1とおくと
Y(s)=∫[0,∞]x(t')exp(-s(t'+1))dt'
=exp(-s)∫[0,∞]x(t')exp(-st')dt'
=exp(-s)X(s)
X(s)=1/(s+1)なら　x(t)=exp(-t)u(t) なので
Y(s)=exp(-s)X(s)=exp(-s)/(s+1)
y(t)=L^-1{Y(s)}
=L^-1{exp(-s)/(s+1)}
=exp(-t+1)u(t-1)

L^-1{exp[-s]/(s^2(s+1))}
=L^-1{1/((s^2)(s+1))}|(t→t-1)…(☆)

L^-1{1/((s^2)(s+1)}=L^-1{1/s^2 -1/s +1/(s+1)}
=L^-1{1/s^2} -L^-1{1/s} +L^-1{1/(s+1)}
=L^[(-1/s)'] -L^-1{1/s} +L^-1{1/(s+1)}
=tu(t)-u(t)+exp(-t)u(t)

この式と(☆)の式から
L^-1{exp[-s]/(s^2(s+1))}
=tu(t)-u(t)+exp(-t)u(t)|(t→t-1)
=(t-2)u(t-1)+exp(-t+1)u(t-1)

となります。

補足

無限大までの積分？
教科書では、時刻tまでの積分になっています。
すいませんが、そのやり方は知りません。
ラプラス変換ではなく、積分のラプラス変換にでてくる積分です。
時刻tまでの積分としての考えでお願いします。

回答No.1

info22_

>Y(s)=exp[-s]/(s^2(s+1))
>の逆変換y(t)は、

>y(t)=(t-2)u(t-1)+exp[-(t-1)]u(t-1)
>間違っているでしょうか？

合っていますよ。

>一応、積分のラプラス変換も使ったんですが、exp[-s]は一回分しか作用しないから、u(t-1)というのがでてくるのはおかしいんでしょうか？

おかしくありません。合っているので問題ないです。

>そうすると、もう一回積分を行って、t+exp[t+1]+eになるんでしょうか？

なぜそんなことするのです？　もう一回積分する「的外れな」発想は何処から出てくるのか分からない。そんな必要なし。

>よってu(t-1)が答えに入ってくるのはおかしい？

入ってこないと間違いだね。

なお、
>y(t)=(t-2)u(t-1)+exp[-(t-1)]u(t-1)
はu(t-1)を使わないならtの範囲で分ける、次のような書き方でも良い。

t<1の時　y(t)=0
t≧1の時 y(t)=t-2+exp(-t+1)

補足

exp[-s]/(s+1)から逆変換を行う場合、積分のラプラス変換の公式から、二回積分しないといけないですよね。なぜなら、分母にs^2がかかっているからです。
∫(0~t)f(τ)dτを二回しなければいけないですよね？
u(t-1)があることで、一回目の積分は1~tの積分範囲になるけど、二回目の積分を行うときは、u(t-1)はかかってないから、0~tの積分になるじゃないですか。

しかし、一度逆変換を行う前に部分分数展開を行って項を分けて計算したら、y(t)=(t-2)u(t-1)+exp[-(t-1)]u(t-1)になりました。この場合は、積分のラプラス変換は使わずに、第二移動定理だけで解けました。

なんででしょうか？
どこを勘違いしてるんでしょうか？