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複素数の問題を解く方法とは?
sanoriの回答
- sanori
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再びお邪魔します。 先ほどはNo.1の方とほぼ同時刻投稿で後塵を拝しました(笑) 質問者様の今後のことを考え、解説をしておきます。 オイラーの公式というものがあります。 e^(iθ) = cosθ + i・sinθ これを念頭において・・・ x^3 = 1 の解は3つあり、 あ) 1 ( = e^(i・2nπ) = cos(2nπ) + isin(2nπ) ) い) e^(i(2/3・π+2nπ)) = cos(2/3・π + 2nπ) + isin(2/3・π + 2nπ) = -1/2 + √3/2・i う) e^(i(4/3・π+2nπ)) = cos(4/3・π + 2nπ) + isin(4/3・π + 2nπ) = -1/2 - √3/2・i です。 ここで、 (い)のことを、特にωと呼ぶ習慣があります。 (う)はω^2と等しいです。 そして、x^3 = 1 の解なので、どちらも3乗すると1となります。 (あ)を3乗すると e^(i・2nπ×3) = cos(2nπ×3) + isin(2nπ×3) = cos(0) + isin(0) = 1 + 0・i ( = 1 ) (い)を3乗すると ω^3 = e^(i(2/3×3・π+2nπ×3) = cos(2/3・π×3 + 2nπ×3) + isin(2/3・π×3 + 2nπ×3) = cos(2π + 6nπ) + isin(2π + 6nπ) = cos(0) + isin(0) = 1 + 0・i (う)を3乗すると ω^6 = e^(i(4/3・π+2nπ×3) = cos(4/3・π×3 + 2nπ×3) + isin(4/3・π×3 + 2nπ×3) = cos(4π + 6nπ) + isin(4π + 6nπ) = cos(0) + isin(0) = 1 + 0・i 複素平面で上の3点をプロットしてみれば、感覚的によくわかると思います。 絶対値が1の複素数を掛け算するというのは、複素平面で原点(0,0)の周りを回転させるということなんですね。 e^iθ は、半径1の円の方程式のようなものです。
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