• 締切済み

微積

どうやれば良いのか分かりません。ぜひ、教えてください。 Z=f(x、y)とする。座標変換をαは定数として、 x=ucosα+vsinα y=-usinα+vcosα とする。 (1)(∂z/∂u)^2+(∂z/∂v)^2 を計算過程を示し、座標(x、y)を用いて表せ。 (2)(∂^2)z/∂u^2+(∂^2)z/∂v^2 を計算過程を示し座標(x、y)を用いて表せ。

  • ikkh
  • お礼率5% (2/36)

みんなの回答

  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.1

偏微分の教科書を最初から読み直してください。 (∂z/∂u)=(∂z/∂x)(∂x/∂u)+(∂z/∂y)(∂y/∂u) は覚えてますか。

ikkh
質問者

補足

(1)∂z/∂u=cosαfx(x、y)-sinαfy(x、y) ∂z/∂v=sinαfx(x、y)+cosαfy(x、y)より、 (∂z/∂u)^2+(∂z/∂v)^2=(fx)^2+(fy)^2で合っていますか?? (2)は、やっぱり分からないんです…

関連するQ&A

  • 微積

    学校の過去問を解いていて、分からないところを教えていただきたくて、投稿しました。どれでも良いので回答していただけると助かります。 ★1つ目 f(x、y)=e^(x^2+y-1)+2e^(x-1)-3=0により定まるxy平面の曲線をCとする。 (i)曲線Cをy=y(x)として、点P(1、y(1))を求め、Pをとおる接線の式を求めよ。 答え:P(1,0)より接線は  y=-4x+4 分からないのは(ii)です… (ii)点Pにおける (d^2)y/dx^2を求めよ。 答え0になったのですが合ってるのか自信がなくて… ★2つ目 Z=f(x、y)とする。座標変換をαは定数として x=ucosα+vsinα y=-usinα+vcosα とする。 (i)(∂^2)z/∂u^2+(∂^2)z/∂v^2 を計算過程を示して、座標(x、y)を用いて表せ。 ★3つ目 fはc^2級でf=f(x、y)、x=u+v y=u-vとする。 (i)fxとfyをfu、fvで表せ。 答え:fx=1/2(fu-fv) fy=1/2(fu-fv) となるところまでは分かったのですが、(ii)が分かりません。 (ii)fxx-fyyをfの変数u、vに関する編導関数を用いた式で表せ。 これらを質問したところ、以下のような回答があったのですが、私には理解できませんでした。 どなたか教えていただけないでしょうか?? ★2つ目 x=1、y=0のとき、次のようになりませんか?   d^2 f/dx^2=(2-4)^2+2+d^2 y/dx^2 +2=0  ∴d^2 y/dx^2=-8 ★3つ目   偏導関数 fuv を求めてみてください。

  • 微積

    学校の過去問を解いていて、分からないところを教えていただきたくて、投稿しました。どれでも良いので回答していただけると助かります。 ★1つ目 f(x、y)=e^(x^2+y-1)+2e^(x-1)-3=0により定まるxy平面の曲線をCとする。 (i)曲線Cをy=y(x)として、点P(1、y(1))を求め、Pをとおる接線の式を求めよ。 答え:P(1,0)より接線は  y=-4x+4 分からないのは(ii)です… (ii)点Pにおける (d^2)y/dx^2を求めよ。 答え0になったのですが合ってるのか自信がなくて… ★2つ目 Z=f(x、y)とする。座標変換をαは定数として x=ucosα+vsinα y=-usinα+vcosα とする。 (i)(∂^2)z/∂u^2+(∂^2)z/∂v^2 を計算過程を示して、座標(x、y)を用いて表せ。 ★3つ目 fはc^2級でf=f(x、y)、x=u+v y=u-vとする。 (i)fxとfyをfu、fvで表せ。 答え:fx=1/2(fu-fv) fy=1/2(fu-fv) となるところまでは分かったのですが、(ii)が分かりません。 (ii)fxx-fyyをfの変数u、vに関する編導関数を用いた式で表せ。 ★4つ目 (0、0)のまわりで次の関数をテイラー展開し2次の項まで求めよ。 {√(1-2x-y)} cosx これを、もしyで一回微分したら、 1/2(1-2x-y)^(-1/2)cosx で合ってますか??

  • 偏微分の証明問題について

    偏微分のチェイン・ルールを使った証明問題がわかりません. z=f(x,y) , x=ucosα-vsinα , y=usinα+vcosα とするとき, z[xx] + z[yy] = z[uu] + z[vv] が成り立つことを示せという問題で, まず右辺のz[uu]を導く段階で z[uu] = (z[u])[u] = (z[x]・cosα + z[y]・sinα)[u] =(z[x])[u]・cosα+(z[y])[u]・sinα ・・・(1) =(z[xx]・cosα+z[xy]・sinα)・cosα + (z[yx]・cosα+z[yy]・sinα)・sinα ・・・(2) (1)から(2)がなぜ出てくるのかが理解できないです. よろしくお願いします.

  • 流体力学の問題

    次の2問を解いてみたのですが(1)がわかりません。教えてください。また(2)も正しいかどうかわかりません。どうか正しいかどうかご指南ください。 問題  複素速度ポテンシャルf(z)が正の実定数U,mを用いて       f(z) =Uz+mlogz z=x+iy のように与えられているとき次の問いに答えよ。  (1)Ψ=mπを満たすrとθの関係を求め図示せよ。  (2)よどみ点の座標(x_s,y_s) を求めよ。 自分の解答   (1)f(z)=Ur(cosθ+isinθ)+mlog(r)+imθ    Ψ=Ursinθ+mθ      Ψ=mπより    Ursinθ+mθ=mπ    Ursinθ=m(π-θ)     ここでλ=π-θとおくと    Ursinλ=mλ    よってr=(m/U)sinλ/λ lim(λ→0)r=m/U     ここまで考えましたがこれがどのような図になるかわかりません。 (2)    v_r=Ucosθ+m/r v_θ=-Usinθ   v_θ=0よりθ=π   v_r=0より Ucosθ+m/r=0   この2式よりr=U/m   よって x_s=rcosθ=U/mcosπ=-U/m y_s=rsinθ=U/msinπ=0   (x_s,y_s)= (-U/m,0)

  • 積分の変数変換について

     積分の変数変換に関する質問です。一番簡単な直交座標から極座標への変換を例にします。   x = x(r,θ) = rcosθ.   y = y(r,θ) = rsinθ. であるとき f(x,y) = 1 を x^2 + y^2 ≦ R^2 という円内を積分領域して積分すれば   ∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫dxdy = ∫∫rdrdθ ・・・・・・ (#) となり円の面積が求められます。つまり直交座標から極座標に変換して積分するときは   dxdy →drdθ ではなく、   dxdy →rdrdθ としなければならないと、どんな参考書にも書いてあります。つまり r を余分に付け加えるわけですが、これは   ┌ ┐ ┌       ┐┌  ┐   |dx|=|cosθ -rsinθ||dr |   |dy| |sinθ  rcosθ||dθ|   └ ┘ └       ┘└  ┘   |J| =|cosθ -rsinθ|= rcos^2θ- (-rsin^2θ) = r      |sinθ  rcosθ| のように行列式|J|でも求めることができ、|J|をヤコビアンと呼ぶということも参考書に載っています。  一方で   rdrdθ= rdθ*dr は極座標における面積要素ですから(#)の変換は直感的にも納得できます。θは角度ですから drdθでは面積になれないわけです。(#)は具体的には   ∫[0~2π]∫[0~R]rdrdθ で計算できます。この式だけじーっと見ていると、いつのまにか r とθが極座標の変数であることが忘れ(笑)、あたかもθを縦軸、r を横軸とする '直交座標' において関数 θ= r を積分していると見なせます。  で、ここからが質問なのですが・・・  直交座標から任意の座標に変数変換して積分するということは、結局のところ、その任意の座標を直交座標と見なして計算することであると考えてよいのでしょうか?  たとえば   x = x(u,v,w)   y = y(u,v,w)   z = z(u,v,w)   ┌  ┐  ┌        ┐┌ ┐   |dx| |∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w ||du|   |dy|=|∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w||dv|   |dz| |∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w||dw|   └ ┘  └         ┘└ ┘     |∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w|   |J| =|∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w|     |∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w| であるとき   dxdydz = |J|dudvdw という変数変換は、 u、v、w がどんな座標の変数であれ、最終的には u、v、w の '直交座標' で計算することであると考えてよいのかということです。  任意の座標同士の変数変換というのはどうなるのでしょうね。ちょっと想像しかねます。

  • 重積分の問題が解けません

    次の重積分の問題がどうしても解けません。 次の図形の体積を求めよ x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)≦a^(2/3) (a:定数,a > 0) 私は次のようにして解こうとしました。 まず x=u^3,y-v^3,z=w^3,a=b^3 と置きました。 0≦w≦√(b^2-u^2-v^2) ヤコビアンを求め、 dxdydz=27・u^2v^2w^2・dudvdw とし、計算を進め、さらにもう一度変数変換を行いました。 u=rcosθ,v=rsinθ(極座標表示) 同様にヤコビアンを求め計算を進めました。 この方法では正しい解答に行き着きませんでした。 ちなみに答えは(4πa^3)/35となっています。 どなたかご教授ください。 お願い致します。

  • 重積分の変数変換

    ∫∫∫(1-x-y-z) dxdydz (0≦x≦y、z≧0、x+y+z≦1) この問題で、直交座標を下のように斜行変換して、 u=x+y+z v=y+z/x+y+z w=z/y+z 以下のように式変換します。 x=u(1-v) y=uv(1-w) z=uvw よりヤコビアンを求めて ∫∫∫(1-u)vu^2 dudvdw このときに、u,v,wの値の範囲は、 0≦u≦1 0≦v≦1 0≦w≦1 でいいのでしょうか? 考え方がよくわかりません・・・。 教えてください。

  • 多変数関数の上限と下限

    次の F(x,y,z)=2x^2+2y^2+z^2+2xy-4xz-4yz という2次の3変数関数について、 F(x,y,z)/(x^2+y^2+z^2) ((x,y,z)≠(0,0,0)) -----------(1) の上限、下限を求めたいのですが、途中からわからなくなってしまい、投稿いたしました。 まず、 F(x,y,z)=(x y z)A(t(x y z)) というように、行列表示にしました。ただし、   |2 1 -2| A= |1 2 -2|   |-2 -2 1| です。ここで、Aは実対称行列であり、直行行列Pを用いて対角化しました。Aの固有値はλ=1,-1,5ですので、F(x,y,z)を標準化し、 G(u,v,w)=-u^2+v^2+5w^2 という形にしました。また、(1)式の分母も、u^2+v^2+w^2という形に変換できると思いますので、(1)式は G(u,v,w)/(u^2+v^2+w^2) ((u,v,w)≠(0,0,0)) -----------(2) という(2)の上限、下限を求めればよいとなると思います。 上記のとこまで変換できたのですが、肝心の上限下限をもとめることができません。どなたかご教授していただけないでしょうか?よろしくお願いします。

  • f(z) = z - 1/z に対してコーシー・リーマンの関係式を使っ

    f(z) = z - 1/z に対してコーシー・リーマンの関係式を使って正則性を判定せよ。 解答 f(z)はz≠0において定義され、 f(z)= u + iv u = x - x/(x^2 + y^2) v = y + y/(x^2 + y^2) であり、 u_x = v_y u_y = -v_x よってz≠0で正則 …と書いてあって、 u_x = v_y、u_y = -v_xの偏微分は計算できるんですが、 その前の u = x - x/(x^2 + y^2) v = y + y/(x^2 + y^2) をどうやって導き出したのか教えてください (式さえ教えてくだされば自分で計算します)。 この本には例が一つも載っていません…。お願いします。

  • 微積

    問.条件φ(x,y,z)=0 のもとで、関数ω=(x,y,z) の極値をとる点のおいて、次の等式を満たす定数λが存在することを証明せよ。 f_x=λφ_x  ,  f_y=λφ_y  ,  f_z=λφ_z 陰関数の微分法を使うのであろうと思うのですが、それを使ってどうやって証明するのかがわかりません。 どう解くのか、ヒントでいいので教えてください!