共振させるためのインパルス列の条件について

質問

こんにちは、
以前下記（質問番号：5518003）にて、共振させるためのインパルス列の条件を
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=5518003
で、教えて頂きました。
＞パルス幅は、振動固有周期の 1/4 くらいにしてはいかがでしょう。　パルス間隔は、
＞固有周期の整数倍付近に選びます。　成長する条件は、パルス間隔内で減衰する分を、
＞一つのパルスで補えるか否かです。　
この条件は、きちんと数学的に決まっているのでしょうか？
共振回路等の対象物の固有振動数が非常に高い場合、入力するパルス幅、パルス間隔は最低幾らが必要であるのか？また、入力するパルス幅、パルス間隔がどのような条件のとき、最も速く振幅が大きくなるかということ知りたいです。
たとえば、具体的に固有振動数が、１０＾８　Ｈｚのときは、どうなのでしょうか？

回答No.1

inara1

多重パルスでの応答は、単一パルスでの応答と同様、ラプラス変換から求められます。

（単一パルスの場合）
単一パルスが t = 0 で立上がり、パルス高さ（電圧）が E、パルス幅が tw のとき、階段関数 u(t) （ t<0 のとき値が 0、0<t のとき値が 1という関数）を使えば、この単一パルスは
　　　E*{ u(t) - u(t-tw) }
で表わされます。このパルスを 直列のLCR回路に印加したときの回路電流を i(t) とすれば、 i(t) に関する微分方程式は
　　　R*i(t) + L*d i(t)/dt (1/C)*∫i(t) dt = E*{ u(t) - u(t-tw) }
となります。パルスを印加する前には回路電流がゼロでコンデンサの電荷も0である場合、初期条件は i(0) = 0、i'(0) = 0 となるので、上式をラプラス変換して、i(t) のラプラス変換 I(s) について解けば
　　　I(s) = E*C*{ 1 - e^( -tw*s ) }/( 1 + C*R*s + L*C*s^2 ) --- (1)
となります。直列のLCR回路では 4*L < C*R^2 の場合、i(t) は振動せず減衰していきますが、質問の条件では、4*L > C*R^2 なので i(t) は振動しながら減衰していきます。その場合、式(1)を逆ラプラス変換すれば、i(t) が求められ
　　　0≦t≦tw のとき i(t) = 2*E*√{ C/( 4*L - C*R2 ) }*sin(A*t)*e^{ -R*t/(2*L) }
　　　tw≦t のとき　　 i(t) = 2*E*√{ C/( 4*L - C*R2 ) }*[ sin(A*t) - e^{ R*tw/( 2L ) }*sin{ A*( t- tw ) } ]*e^{ -R*t/(2*L) }
　　　　　　　　　　　　　　ただし A = √( 4*L - C*R^2 )/{ L*√(C) }
となります。

（多重パルスの場合）
上の単一パルスが、周期 T で n 回繰り返されるような多重パルスの場合、パルス波形は
　　　Σ[ k = 0 ～n-1 ] E*{ u( t - k*T ) - u( t - k* T - tw ) }
で表わされます（ n = 1 が単一パルスの場合になります）。このパルス列を 直列のLCR回路に印加したとき、単一パルスの場合と同様にラプラス変換して I(s) を求めると
　　　I(s) = E*C*Σ[ k = 0～n ] [ e^( -k*T*s ) - e^{ -( k*T + tw )*s } ]/( 1 + C*R*s + L*C*s^2 )
となるので、これを逆ラプラス変換すれば i(t) を求めることができます（上の場合と同様に、t を場合分けすれば計算できます）。

rrtrans さんがお知りになりたいのは、どのようなパルス列を与えたときに回路電流の振幅を最大にできるか（お寺の鐘を指で周期的に突いたとき、どのようなタイミングで突けば鐘の揺れ幅を最大にできるか）ということのようですが、それを解析するには、２つのパルス列を与えたとき、T + tw < t の範囲で、i(t) の振幅が最大となる条件を見つければ十分だと思います。しかし、減衰項 e^{ -R*t/(2*L) }　があると、振動のたびに振幅が小さくなっていくので解析が難しくなります。とりあえず減衰項を 1 とおいて（ R = 0 として）解析するのがいいと思います。ちょっと考えてみます。

補足

お世話になります。
お詳しい計算ありがとうございます。
自分でも、mathematicaで作図してみます。