共振させるためのインパルス列の条件について

質問

こんにちは、
以前下記（質問番号：5518003）にて、共振させるためのインパルス列の条件を
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=5518003
で、教えて頂きました。
＞パルス幅は、振動固有周期の 1/4 くらいにしてはいかがでしょう。　パルス間隔は、
＞固有周期の整数倍付近に選びます。　成長する条件は、パルス間隔内で減衰する分を、
＞一つのパルスで補えるか否かです。　
この条件は、きちんと数学的に決まっているのでしょうか？
共振回路等の対象物の固有振動数が非常に高い場合、入力するパルス幅、パルス間隔は最低幾らが必要であるのか？また、入力するパルス幅、パルス間隔がどのような条件のとき、最も速く振幅が大きくなるかということ知りたいです。
たとえば、具体的に固有振動数が、１０＾８　Ｈｚのときは、どうなのでしょうか？

回答No.5

veryyoung · ベストアンサー

ANo.4の補足欄に関してです。
当該資料図２３拝見しました。

＞Print["元の波形の二次高調波成分"];
＞xt2=MovingAverage[{x[t],x[t+1/f]},2]

上式の意図は不明です。

＞Print["元の波形の包絡線"];
＞xt3=Sqrt[x[t]^2-MovingAverage[{x[t],x[t+1/f]},2]]

右辺は、Sqrt[MovingAverage[{x[t],x[t+1/(4*f)]},2]]
という感じではないでしょうか。　２fに対して180度位相差のある２点の合計で２次高調波は消せます。
なお、２点平均ですませるなら、当該関数によらなくとも可能でしょう。

＞印加するパルス列のエネルギー、電力を求める式

ご質問の意図が良くわかりません。　電源から供給される瞬時電力は、電圧電流積、エネルギはその時間積分で求まりますが、これは振幅に比例して変化しますから、「印加する」エネルギというような能動的意味合いにはなりません。　鐘の話としてご提示のあった強制振動の微分方程式は、振幅によらず一定の外力が加わるようになっており、共振回路が吸収するパルスエネルギを定数（一定値）として設定するようになっていません。　いわゆる力積（ＦΔt）一定の駆動条件になっています。　運動量一定で玉を繰り返しぶつけるような状況です（パルスの形は模擬されていませんが）。　鐘が玉から受け取れる運動エネルギは、その時点での鐘の変位速度に応じて変化します（エネルギは力×距離ですから）。

お礼

お返事ありがとうございます。
＞右辺は、Sqrt[MovingAverage[{x[t],x[t+1/(4*f)]},2]]
これで試してみましたが、やはりエラーが出てうまく計算できません。
原因は、私のPCで、MovingAverageコマンドを計算してくれないからかもしれません。
このままでは、気持ちが悪いのでmathematicaのサイトで原因を尋ねてみます。
＞ご質問の意図が良くわかりません。　電源から供給される瞬時電力は、電圧電流積、エネルギはその時間積分で求まりますが、これは振幅に比例して変化しますから、「印加する」エネルギというような能動的意味合いにはなりません。
中途半端な質問をして申し訳ございません。疑問点はあるのですが、頭の中で整理がついておりません。また、改めて質問するかもしれませんので、よろしくお願いいたします。

いろいろとご親切な回答を頂き、本当に有難うございました。

回答No.4

veryyoung

Mathematicaによる作図、拝見しました。パルス間隔やパルス幅は、電圧軸伸縮になり、準定常への整定時間は変化しない様子が、ご覧になれたと思います。　なお、ウッカリでしょうが、図２２のパルス幅の注釈には誤りがあるようです。　Ta=0.5*1/fと定義されていますから、
＞Print["パルス幅が1/f0の",0.25*a,"倍"]
ではなく、Print["パルス幅が1/f0の",0.125*a,"倍"] かと思います。

ついでに、一つご提案申し上げましょう。　パルス間隔等、変化の効果は、一枚のグラフにまとめれば比較がし易いと思います。　しかし、振動をそのまま重ね書きしたのでは、各場合が混じり合って読み取れません。　包絡線を取り出し、プロットするのは、いかがでしょう。

方法は、いくつもありますが、次のようにすれば、mathematicaで容易に試せそうです。
共振波形は正弦波ですから、二乗すれば、振幅の半分に相当する「直流成分と二次高調波の和」になります。　二次高調波成分（ 2 fo ）を除去した後、平方根をとれば、包絡線の形が得られます。　高調波除去には移動平均：MovingAverage
http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/MovingAverage.ja.html
が使えそうです。　平均区間を二次高調波の１周期に選べば、目的は最小限達成できるように思われます。　私には、mathematicaがありませんので、試していませんが、似たような事を回路シミュレータでやってみました。

添付図、下段が、上の波形を処理して包絡線を取りだしたものです。

補足

お世話になります。
＞ではなく、Print["パルス幅が1/f0の",0.125*a,"倍"] かと思います。
そのとおりで御座いました。ご指摘ありがとう御座います。

＞包絡線を取り出し、プロットするのは、いかがでしょう。
おっしゃる通り、試してみました。
結果は、HPの図２３の通りで、うまく計算出来ませんでした。
まず、なぜか私のPCでは、MovingAverageを計算してくれませんでした。
また頭を冷やしてからチャレンジしてみます。

追伸
すいません。またまたご教示頂きましたら幸いです。
印加するパルス列のエネルギー、電力を求める式は、どのような計算式になるのでしょうか？よろしくお願いいたします。

回答No.3

veryyoung

Ano.2 ですが、文章のみですと解りにくいかもしれません。要点とともに図を添付いたします。

この問題の入力パルス列図１ｃは、同図 ａ のような延々続くパルス列に、t=0 で立ち上がるユニットステップ（同図ｂ）を掛けたものです。　従って、包絡線の大局的応答は、図３、４に書き込んだ白線のように、単なる一次応答（図２）
1 - exp( - t / τ )
の形になります。　この　τ　は、ＬＣＲ直列共振回路の減衰時定数ですが、ＬやＣを、wo = 1/ sqrt( L C )と Q = sqrt( L /C ) / R を使って置き換え、次の様に表せば見通しが良くなります。
τ = 2 Q / wo　　　あるいは、　τ = 2 Q / ( 2 π fo ) 　

ここで言う包絡線の大局的応答は、ただ一度限りのものである事に注意して下さい。　パルスが到着する度に生じる部分的過渡応答は、Ano.2 中、包絡線のリップルと表現しました。　大局的な振幅成長は、一度限りのものであって、それは上記時定数 τ の一次応答です。　その中にどれだけ密にパルスが到来するかで、最終振幅が決まります。　図３と図４は同じ回路で、パルス密度のみ異なる結果です（電圧軸縮尺は同一です）。　時定数は同じで最終振幅のみ変化しています。　その差異は、図２ａと図２ｃに相当します。　パルス幅の効果も同様です。

Ano.2では、Ｑの効果にもふれました。　Ｑを高くすれば大きな包絡線最終値が得られますが、時定数は長くなってしまいます。　「成長が速い」と「最終的に大きい」は両立するのか。　そこで２倍のＱの違いで包絡線成長の挙動を比較してみる事をお勧めしました。　ちなみに時刻の符号が抜けておりました。
( 1-exp(t) ) と　2( 1-exp(t/2) )　　　--- 誤
( 1-exp(-t) ) と　2( 1-exp(-t/2) )　　--- 正
図２にこの対比を示します。
図２ａを基準にＱを高くすると同図ｂのように整定時間は長くなります。しかし振幅ゲインに助けられ、ａを下回る時刻はありません。

補足

お世話になります。
なんとなく解りました。時定数で決まるんですね。自分でも条件を変化させて、おっしゃっていることを、mathematicaで作図して確かめてみます。

回答No.2

veryyoung

関連のご質問に関し、以前回答した者です。

＞共振回路等の対象物の固有振動数が非常に高い場合、入力するパルス幅、パルス間隔は最低幾らが必要であるのか？

固有振動数の高低に関わらず、以下の議論は共通です。

１）パルス幅について
矩形パルス列は、インパルス列と単一矩形波の畳み込みです。つまり周波数領域ではスペクトラム積です。間隔 T のインパルス列は周波数領域で 1/T 間隔インパルス列になり、それを単一矩形波のスペクトラム
Ta sin ( π Ta f ) / ( π Ta f ) （sinc関数の形、ここで、Ta：パルス幅）
で重み付けしたものが、矩形パルス列のスペクトラムです。

パルス幅を増せば全エネルギは大きくなりますが、高次強度は低下します。両者の拮抗で、回路の共振周波数 fo の成分を最大にする Ta は、Ta = 0.5 / fo となります。　ただし振幅成長の包絡線観察では、パルス幅に拘る必要はありません。パルス幅を細くしても、電圧軸の相似的変化が生じるに過ぎず、振幅成長条件を云々するのには関わりがないのです。　0.25 / fo くらいに選んでみてはどうかと提案しましたのは、そちらのシミュレータのパルス表現の癖（立ち上がり、下りの追加値）が定かでないので、細めの方が良かろうと思ったのです。 0.5 / fo を越え太くなると fo 高調波成分が減少し、Ta = 1 / fo に至っては零になってしまいます。　一方、不必要に細くするとシミュレータの時間分解能的負担が増すでしょう。そんな事で「振動固有周期の 1/4くらい」と記しましたが、特別の意味はありません。

２）パルス間隔について（間隔は 1/fo の整数倍、離散変化するとの前提で論じます）
包絡線のリップル許容量、あるいは準定常振幅値などの条件を付加しなければ、振幅成長のパルス間隔上限は定まりません。　たとえＱが低くても共振回路の振動エネルギは有限時間で零にはなりません。よって次のパルスで、共振回路のエネルギの増大が見込まれます。　ただし最終的に目に見えるような振幅成長があるとは限りません。包絡線の大局的な変化は、パルスの間隔に関わらず、第一パルスを起点とした、時定数
τ = 2 Q / ( 2 π fo )
の一次応答です（無限過去からのパルス列にユニットステップ u(t)を乗じたものが入力されたと捉えれば直観できます）。　振幅成長はその区間で行われるしかないのです。したがって、パルス間隔が　τ に比べてかなり密になれば、実感できるような振幅成長が可能です。　パルス列を通じての「包絡線リップルをならした大局的成長」の時定数は、共振回路固有であって、パルス間隔には依存しません。　しかし、包絡線のリップル量や準定常振幅は「パルス間隔／τ」に依存します。　Ｑを変化させたとしましょう、包絡線の応答時定数 τ は変化しますが、「パルス間隔／τ」を保てば、同じ包絡線リップルになりますし、同じ最終振幅になります（前者は自明、後者はエネルギ収支を考えれば納得できます）。

＞パルス幅、パルス間隔がどのような条件のとき、最も速く振幅が大きくなるか
パルス幅パルス密度は前述のように電圧軸比例係数になります。　最も振幅成長が期待されるのは、パルス列が緻密、つまり共振周期に一致し、デューティが１：１の場合です。　これは、共振Ｑなどと独立な、また包絡線の応答関数とは独立な、電圧軸の縮尺の話なので単純です。　「最も速く振幅を大きくする」に関してＱの条件を考察しましょう。　大きな最終振幅の為には大きなＱが必要です。しかしそれは時定数の増加を意味します。Ｑの大小に対し、包絡線変化はどのようになるのか。　例えばＱが２倍になれば、τ も２倍です、包絡線最終値も２倍です。この二者の応答つまり
( 1-exp(t) ) と　2( 1-exp(t/2) )
を比較してみてください。　初期において両者振幅は一致、その後は後者が常に勝る事が解ります。Ｑが高く包絡線の一次応答は遅くても、振幅成長という指標を採用すれば劣る所は無いと言えます。

なお、パルス間隔を決定する際に基準とする周波数は、共振周波数 fo では無く、減衰振動の周波数
fo * sqrt ( 1 - 1/(2Q)^2 )
であるべきと思われるかもしれません。パルス間隔を遠ざけるにしたがって、位相差が無視できないとご心配でしょうか。　しかし、成長が実感される条件下、一つのパルス間隔で生じる両者タイミングのずれは微々たるものです。　Ｑ が低ければ周波数差は大きくなるが、密なパルス間隔が要求されるという具合に解消されます。

以上、誤りが無いとよいですが。

回答No.1

inara1

多重パルスでの応答は、単一パルスでの応答と同様、ラプラス変換から求められます。

（単一パルスの場合）
単一パルスが t = 0 で立上がり、パルス高さ（電圧）が E、パルス幅が tw のとき、階段関数 u(t) （ t<0 のとき値が 0、0<t のとき値が 1という関数）を使えば、この単一パルスは
　　　E*{ u(t) - u(t-tw) }
で表わされます。このパルスを 直列のLCR回路に印加したときの回路電流を i(t) とすれば、 i(t) に関する微分方程式は
　　　R*i(t) + L*d i(t)/dt (1/C)*∫i(t) dt = E*{ u(t) - u(t-tw) }
となります。パルスを印加する前には回路電流がゼロでコンデンサの電荷も0である場合、初期条件は i(0) = 0、i'(0) = 0 となるので、上式をラプラス変換して、i(t) のラプラス変換 I(s) について解けば
　　　I(s) = E*C*{ 1 - e^( -tw*s ) }/( 1 + C*R*s + L*C*s^2 ) --- (1)
となります。直列のLCR回路では 4*L < C*R^2 の場合、i(t) は振動せず減衰していきますが、質問の条件では、4*L > C*R^2 なので i(t) は振動しながら減衰していきます。その場合、式(1)を逆ラプラス変換すれば、i(t) が求められ
　　　0≦t≦tw のとき i(t) = 2*E*√{ C/( 4*L - C*R2 ) }*sin(A*t)*e^{ -R*t/(2*L) }
　　　tw≦t のとき　　 i(t) = 2*E*√{ C/( 4*L - C*R2 ) }*[ sin(A*t) - e^{ R*tw/( 2L ) }*sin{ A*( t- tw ) } ]*e^{ -R*t/(2*L) }
　　　　　　　　　　　　　　ただし A = √( 4*L - C*R^2 )/{ L*√(C) }
となります。

（多重パルスの場合）
上の単一パルスが、周期 T で n 回繰り返されるような多重パルスの場合、パルス波形は
　　　Σ[ k = 0 ～n-1 ] E*{ u( t - k*T ) - u( t - k* T - tw ) }
で表わされます（ n = 1 が単一パルスの場合になります）。このパルス列を 直列のLCR回路に印加したとき、単一パルスの場合と同様にラプラス変換して I(s) を求めると
　　　I(s) = E*C*Σ[ k = 0～n ] [ e^( -k*T*s ) - e^{ -( k*T + tw )*s } ]/( 1 + C*R*s + L*C*s^2 )
となるので、これを逆ラプラス変換すれば i(t) を求めることができます（上の場合と同様に、t を場合分けすれば計算できます）。

rrtrans さんがお知りになりたいのは、どのようなパルス列を与えたときに回路電流の振幅を最大にできるか（お寺の鐘を指で周期的に突いたとき、どのようなタイミングで突けば鐘の揺れ幅を最大にできるか）ということのようですが、それを解析するには、２つのパルス列を与えたとき、T + tw < t の範囲で、i(t) の振幅が最大となる条件を見つければ十分だと思います。しかし、減衰項 e^{ -R*t/(2*L) }　があると、振動のたびに振幅が小さくなっていくので解析が難しくなります。とりあえず減衰項を 1 とおいて（ R = 0 として）解析するのがいいと思います。ちょっと考えてみます。

補足

お世話になります。
お詳しい計算ありがとうございます。
自分でも、mathematicaで作図してみます。