円すい台Cは、上底面の円、下底面の円の直径がそれぞれ4,6であり、その

質問

円すい台Cは、上底面の円、下底面の円の直径がそれぞれ4,6であり、その上底面、下底面、および側面に球Sが接している。このとき、次の各問に答えよ。
(1)球Sの体積を求めよ。

という問題です。
考えてみましたが、断面から考えるとのヒントがありますが、
どう求めればよいかわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.4

info22

（記号C,Sがすでに使われていますので、切断面の等脚台形の頂点の記号の割振りにCやSが使えませんので、少し不自然な記号の割振りになっています。）

球Sの中心Oを通り垂直な円錐台Cの切断面PQRT(等脚台形)を考える。
このとき、P,Tは上底面の直径(=4)、Q,Rは下底面の直径(=6)となる。
球の中心OからPQ、QR、PTに下ろした垂線の足を順にH,A,Bとし、
内接球の半径をrとするとすると
　PB=BT=2、QA=AR=3
　∠P+∠Q=180°（同位角の関係）
線分POは∠Pを2等分、線分QOは∠Qを2等分するので
　∠OPH+∠OQH=90°
　　∴∠POQ=90°
直角△OBP≡直角△OHP、直角△OAQ≡直角△OHQなので

　PH=PB=2,QH=QA=3

直角△OHP∽直角△BHOなので、相似比が等しい。

　r:2=3:r ∴r^2=6

これから円錐台Cの内接球Sの半径rが求まりますから、
球の体積Vは　V=(4/3)πr^3
から求められますね。

お分かりですか？

お礼

三角形の相似比からrを求める方法もあるんですね。
＞直角△OHP∽直角△BHO
は
＞直角△OHP∽直角△QHO
なんですよね。
どうもありがとうございます。