銅板のたわみ計算方法について教えて下さい

質問

4辺が固定されている100mm×500mm×20mmの銅板に0.1(Mpa)の等分布荷重が加わったときのたわみ量(σmax)は何mmになるのでしょうか？いろいろ調べて計算式にあてはめて計算してみましたが、単位がmm2になり、mmになりません。
Mpa=N/mm2のまま計算しているのがよくないような気がするのですが…。よろしくお願い致します。

回答No.4

h191224 · ベストアンサー

訂正です。
そろそろボケが始まったのか、δ2maxの計算値と、δ3maxの表示式が間違っていました。
（我ながら、よく数値的辻褄が合っていたものだと感心しているのですが。。。）
δ2maxを含む段落以降を次の通り、入れ替えて下さい。

－－－－－
ただし、梁の奥行き方向が非常に長く、奥行き方向の変形が拘束されているために、平面歪状態になっていますので、式としては、
δ2max=(wL^4)×(1-ν^2)/(384EI)=2.657×10^-4　mm
となります。ただし、
ν＝0.34
としました。

これに加え、「厚板の曲げ」の効果が出てきます。
この分は、
δ3max＝1.2w(L/2)^2/(2AG)＝1.546×10^-4　mm
となり、δ2maxの半分ぐらいの大きさになります。
ここで、せん断弾性係数G=E/{2(1+ν)}です。
また、1.2という係数は、梁の断面でのせん断応力分布が放物線状になることから出てくる有名な係数で、
せん断変形を計算するときには、これを乗じておくのが普通です。
分母の2は、一様分布荷重が集中荷重のパワーの半分であることを考慮した係数です。

よって、全体のたわみδmaxは、
δmax＝δ2max＋δ3max＝4.20×10^-4　mm
となります。
実際、有限要素法で計算してみると、
4.22×10^-4　mm
という値が得られます。

もし、「厚板の曲げ」について追加質問されたいなら、最初にお断りしたように、別の質問にしてください。
この問題、果てしなく別の問題へと発展していく可能性がありますので。

ただし、多分お知りになりたいと思われることの要点だけは以下に記載しておきます。

δ2max中の(1-ν^2)がなぜ現れるかは、材料力学の入門的な教科書には、あまり書いてありませんが、平面問題における平面応力場での表示式を平面歪場に変換する有名な係数です。

板の曲げ理論では、板の面内のある方向に一様応力を作用させても、それと直角な方向の変形は拘束されるという、一種の平面歪的扱いをするため、面内の弾性係数はEではなくて、E/(1-ν^2)を使います。
これに対して、梁は平面応力的扱いをするため、梁の公式で板の曲げを近似する場合には、この変換が必要になります。

また、δ3max中の係数1.2の意味については、一般の材料力学関係の書物中で見つけるのはさらに困難で、せん断変形を考慮した板の変形理論を扱っている書物、たとえば、有限要素法の解説書などを見なければ困難だと思います。（超有名な故Zienkiewicz氏の著書の中には書かれています。）

なお、厚板でなく、正反対の超薄板の問題の場合には、非線形というやっかいな現象が現れ、それで悪戦苦闘されていらっしゃる方もいらっしゃいます。以下はその関連投稿です。
http://okwave.jp/qa/q5438093.html
http://okwave.jp/qa/q5451336.html
（２番目の投稿はたった今気付きました。この質問者の方は、私の回答を待っていらっしゃるようですので、早急に回答を用意しなければ。。。でも１週間ぐらいかかるかな。。。）

お礼

お礼が遅くなってしまいすみませんでした。

回答が返ってきたことがとても嬉しかったです。
今まで、細かな説明ありがとうございました。
また質問することがありましたら、
またご指導の程よろしくお願い致します。

回答No.3

h191224

補足が書き込まれていたのに気付いていなかったために、回答が遅くなりました。

基本的な問題点については、おわかりになったようですので、一応解決ですね。
しかし、実際の数値の求め方が間違っています。
これは、経験の浅い方々がよく間違える種類のものですので、以下に書くことをよく覚えて下さい。

このような長方形板を梁でモデル化する場合、
梁の長さは、長方形の短辺の長さ、
梁の奥行寸法は、長方形の長辺の長さ、
に、それぞれ取ります。
素人的には、梁の長さを、長方形の長辺と等しくとりたくなるのですが、そうではありません。
このことは、長方形の縦横比がもっと桁違いになった場合のことを考えると、すぐにわかります。

よって、あなたの場合、LとＩが違っています。
Ｌ＝100mm
Ｉ＝333333mm^4
です。
しかし、不思議なことに、wは正しく計算されています。

以上から、
δ1max=(wL^4)/(384EI)=3.00×10^-4　mm
となります。

ただし、梁の奥行き方向が非常に長く、奥行き方向の変形が拘束されているために、平面歪状態になっていますので、式としては、
δ2max=(wL^4)×(1-ν^2)/(384EI)=2.73×10^-4　mm
となります。ただし、
ν＝0.34
としました。

これに加え、「厚板の曲げ」の効果が出てきます。
この分は、
δ3max＝wL/(36AG)＝1.43×10^-4　mm
となり、δ2maxの半分ぐらいの大きさになります。
ここで、G=E/{2(1+ν)}です。

よって、全体のたわみδmaxは、
δmax＝δ2max＋δ3max＝4.16×10^-4　mm
となります。
実際、有限要素法で計算してみると、
4.22×10^-4　mm
という値が得られます。

もし、「厚板の曲げ」について追加質問されたいなら、最初にお断りしたように、別の質問にしてください。
この問題、果てしなく別の問題へと発展していく可能性がありますので。

回答No.2

h191224

私は第1回目の回答で次のように書きました。
－－－
先入観にとらわれず、どんな記号がどんな量を表しているのか、確認しながら計算してみてください。
また、使う式によっては、圧力の単位が、MPaではないかも知れません。
梁の公式で近似すると、梁の場合には、圧力という概念がなく、「単位長さ当たりの分布荷重」という量になります。
この辺も、確かめてみましょう。（実はこれが一番クサイと思っているのですが･･･）
－－－

あなたはこの私のコメントを、どのくらいまじめに検討しましたか？

あなたが使った
δmax=(wl^4)/(384EI)
は、梁の公式です。
ここにおけるｗは、圧力ではなくて、「単位長さ当たりの分布荷重」を入れなければなりません。
第1回目の回答に書いた通りです。

人からコメントをもらっても、それを全く検討もせずに、補足を書きこむなど、してはいけませんよ。

今回の「単位が合わない」という騒動の原因は、私が
（実はこれが一番クサイと思っているのですが･･･）
と書いた、そのものズバリにあります。
原因は私の予想通り、ｗの量をあなたが「圧力」と思い込んでいるところにあります。

しつこいようですが、ｗは、梁の公式では、圧力ではありません。
梁の公式でのｗは、単位長さ当たりの分布荷重の値です。
だから、単位もMPa(N/mm^2)ではなくて、MPa・mm（N/mm)です。
このことは、梁の公式が掲載されている所には、必ず注意書きがしてあります。
もし、その注意書きがなかったら、あなたはその参考書の出版社を訴えて、タンマリと慰謝料をもらうことができるような性質のものです。

上の梁の公式を適用するなら、
L=100mm
ｗ=0.1MPa×500mm=50MPa・mm
を代入しなければなりません。
そうすれば、計算されてくるδmaxの単位は、ちゃんとmmになります。

なお、Ｅの単位がなぜdyne/cm^2などという、今はもう使われていない単位なのでしょう？
SI単位系に統一しておかないと、混乱の元ですよ。

補足

お返事ありがとうございます。
いろいろ指摘して頂いたこと感謝しております。

指摘された圧力の単位もMPa(N/mm^2)ではなくて、MPa・mm（N/mm)になおし、δmax=(wl^4)/(384EI)の公式から計算したところ、δmaxの単位がちゃんとmmになりました。
大変申し訳ございませんが、下記の計算方法で間違いないでしょうか？

0.1N/mm2→W=50N/mm
　　　　　L=500mm
　　　　　E=130000N/mm2
　　　　　I=66666.67mm4

δmax=(wl^4)/(384EI)=0.939mm

回答No.1

h191224

いろいろ調べられたようですので、計算式はおわかりだと思います。

気になるのは、変数名（記号）です。
材料力学の世界に限らず、各分野には、
「この記号は、この量を表す」
という常識があります。

ここで書かれているσmaxのσは、応力を表す記号で、変位にσという記号を使うことは絶対にありません。
変位の計算式に出て来る常識的な記号としては、
Ｅ：縦弾性係数
ν：ポアソン比
があります。

先入観にとらわれず、どんな記号がどんな量を表しているのか、確認しながら計算してみてください。
また、使う式によっては、圧力の単位が、MPaではないかも知れません。
梁の公式で近似すると、梁の場合には、圧力という概念がなく、「単位長さ当たりの分布荷重」という量になります。
この辺も、確かめてみましょう。（実はこれが一番クサイと思っているのですが･･･）

もし、わからなければ、あなたが調べられた式のひとつを、ここに補足として記載していただければ、具体的に指摘ができます。

なお、この問題は「厚板の曲げ」という、初心者の域を超えた問題点を含んでいます。
要は、便覧などに出ている式は、薄板の曲げの式ですが、ここでは長さ100mmに対して厚さが20mmもあるという問題ですので、薄板の式から計算されて得られるたわみ値は、実際の2/3ぐらいの値になると思います。
この点にご興味があれば、いったんこの質問を締め切ったうえで、また質問して下さい。そうしないと、話題が次第に変化しつつ、果てしなく追加質問と回答が繰り返される可能性がありますので。
今は、単位が合わない原因に的を絞りましょう。

補足

お返事ありがとうございます。

早速ですが、使用した式のひとつは、
σmax=(wl^4)/(384EI)
W=0.1(MPa=N/mm2)
l=長さ(mm)
E=ヤング係数(10^-12dyn/cm2)
I=断面二次モーメント(mm4)
です。
上の計算は、建築構造力学を利用し(二次元で)計算したもので、もうひとつの式(4辺固定の式)は手元に書類がなく公式が思い出せませんが、両方とも単位を統一させて計算をしても単位がmm2になってしまいます。

よろしくお願い致します。