図形問題です

質問

角Bが90°の直角三角形ABCがありAC＝10とします。辺AC上に点Pを、辺ACをAの方向に延長した線上にQを　角PBA＝角QBAとなるようにとります。BP＝4 BQ＝6のときAQはいくつですか

回答No.2

nag0720

直線BCと、点Qと通るBPと平行な直線との交点をRとすると、
ΔQRC∽ΔPBC
ΔQRBは二等辺三角形なので、QR=QB=6
よって、ΔQRCとΔPBCの相似比は、6:4

AQ=X、AP=y　とすると、
x：y=6：4
10+x：10-y=6：4

これを解くと、
x=5/2

お礼

補助線が思いつきませんでした。
ありがとうございました。

回答No.1

debut

△ＡＢＣはＡＣを直径とする円に内接します。
ＡＣをｘ軸に、Ｏを原点にとれば、円の式はx^2+y^2=25
よって、点Ｂの座標は(p,q)とおけて、P^2+q^2=25・・(1)
また、Ａの座標は(5,0)とする。
角の二等分線の性質で、ＰＡ：ＱＡ＝２：３だから、Ｐの座標は
定数k(>0)を使い、(5-2k,0)、Ｑは(5+3k,0)とおけます。
ＢＰ^2＝{p-(5-2k)}^2+q^2=16・・(2)
ＢＱ^2＝{p-(5+3k)}^2+q^2=36・・(3)
これらの連立から　6k^3-5k^2-24k+20=0
(k+2)(k-2)(6k-5)=0
k>0より、k=2,5/6
ここで、k=2のときは3k=6=ＢＱとなるので不適
よって、k=5/6で、3k=5/2
したがって、ＡＱ＝5/2となります。

図形の性質から求めるのは不明です。考えてみます。