フーリエ変換の問題について

質問

「　f(t)=1/{((t^2)+4)((t^2)+9)}のフーリエ変換を留数定理を使って求めよ。」
という問題なんですが、分かる方いますか？いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

Ginzang · ベストアンサー

フーリエ変換、及び留数については既知とする。
また、フーリエ変換の係数は文献によって差異があるので、お気をつけ願う。

留数定理とは、|z|→∞とすると絶対値がz^(-2)と同じかそれ以上の速さで0に収束する関数g(z)に対し、g(z)の上半平面（実数部が正の複素数全体）上の留数の総和をΣRes(g,z)とするとき、
∫ g(z) dz = 2πi ΣRes(g,z)
となる（左辺の積分は-∞から∞まで）、というものである。

さて、f(t)のフーリエ変換F(x)は、
1/√(2π) ∫ f(t)e^(-itx) dt
である（積分は-∞から∞までとる）。
xが0または負のとき、f(t)e^(-itx)の上半平面上の留数は、
Res( f(t)e^(-itx), 2i ) = e^2x/20i、
Res( f(t)e^(-itx), 3i ) = -e^3x/30i
の2個なので、
1/√(2π) ∫ f(t)e^(-itx) dt
= 1/√(2π) * 2πi ( e^2x/20i - e^3x/30i )
= √(2π) ( e^2x/20 - e^3x/30 )
である。
xが正のときは、下半平面上の留数を考えることになるが、結果は同じである。

回答No.2

Ginzang

No.1の者だが、不備があったので訂正する。

>xが正のときは、下半平面上の留数を考えることになるが、結果は同じである。
としたが、実際には、
1/√(2π) ∫ f(t)e^(-itx) dt
= √(2π) ( e^(-2x/20) - e^(-3x/30) )
となる。
これをxが0や負の場合と合わせると、
1/√(2π) ∫ f(t)e^(-itx) dt
= √(2π) ( e^(-2|x|/20) - e^(-3|x|/30) )
となる。これが求めるべき回答である。