フーリエ変換についてF(ω)

質問

フーリエ変換についてF(ω)
次の信号のフーリエ変換と振幅スペクトルを求めたいのですが、算出式、解答を教えていただけますでしょうか。

ｆ（ｔ）＝{(e^(-at))+(e^(-2at),t≧0
　　　　　{0,t<0

上の信号のフーリエ変換F(ω）と振幅スペクトルをお願いいたします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

フーリエ変換の定義式は3通りありますが、ωを使う定義を使えば
a>0として, ωをwで代用すると
フーリエ変換F(w)
F(ω)=∫[-∞,∞] f(t)e^(-iwt) dt

=∫[0,∞] (e^(-at) +e^(-2at))e^(-iwt) dt

=∫[0,∞] (e^(-at) +e^(-2at))(cos(wt)-i sin(wt)) dt

=∫[0,∞] (e^(-at) +e^(-2at))cos(wt) dt
-i ∫[0,∞] (e^(-at) +e^(-2at))sin(wt) dt

=[e^(-at)*(w sin(wt)-a cos(wt)))/(w^2+a^2)
+e^(-2at)*(w sin(wt)-2a cos(wt))/(w^2+4a^2)][0,∞]
-i [e^(-at)*(-a sin(wt)-w cos(wt))/(w^2+a^2)
+e^(-2at)*(-2a sin(wt)-w cos(wt))/(w^2+4*a^2)][0,∞]

=a/(w^2+a^2) +2a/(w^2+4a^2)-i w{1/(w^2+a^2) +1/(w^2+4a^2)}
=a{1/(w^2+a^2) +2/(w^2+4a^2)} -i w{1/(w^2+a^2) +1/(w^2+4a^2)}

振幅スペクトル|F(w)|=A(w)
A(w)={√(a^2*(1/(w^2+a^2) +4/(w^2+4a^2))^2
+w^2*(1/(w^2+a^2) +1/(w^2+4a^2))^2)}

={√(4w^2+9a^2)}/√{(w^2+a^2)(w^2+4a^2)}