3次関数の最大値

質問

f(x)=x^3-6ax^2+9a^2 の区間 0≦x≦2 における最大値を求めよ。
ただしa>0とする。

〔解〕
f'(x)=3x^2-12ax+9a^2
=3(x^2-4ax+3a^2)
=3(x-a)(x+a)

(増減表は省略します)

x>3aにおいて f(x)=4a^3 となるのは
x^3-6ax^2+9a^2x=4a^3
(x-a)^2 (x-4a)=0
x=4a

(i) 2＜aのとき
　　最大値はf(2)=18a^2-24a+８

(ii) a≦2≦4a
　　　すなわち 1/2≦a≦2 のとき
　　　最大値はf(a)=4a^3

(iii) 4a＜2 すなわち 0<a<1/2のとき
　　　最大値はf(2)=18a^2-24a+8

という解答なのですが(ii)がわかりません。
どうして a≦2≦4a という条件なのですか？
x=aで最大値をとるときのaの範囲は 0<a≦2 だと思ったのですが何故 0<a≦2 では駄目なのですか。

(ii)でどうして a≦2≦4a という範囲が特定されるのか教えてください。
よろしくおねがいします。

回答No.3

info22

問題のf(x)が
>f(x)=x^3-6ax^2+9a^2 の区間 0≦x≦2 における最大値を求めよ。
>ただしa>0とする。
正しいとすると

>〔解〕
>f'(x)=3x^2-12ax+9a^2
>=3(x^2-4ax+3a^2)
>=3(x-a)(x+a)

f'(x)=3x^2-12ax=3x(x-4a)
となるはず。

それとも
f(x)が間違いで
f(x)=x^3-6ax^2+9(a^2)x
が正しいですか？

あなたの解答は
f(x)=x^3-6ax^2+9(a^2)x
とした時の解答になっています。
それでよければ、(ii)の質問の意味がありますので
回答します。

>(ii) 1/2≦a≦2 のとき
は極大を与えるx=aが区間 0≦x≦2 の範囲内にありますから、
グラフを描いてもらえば分かりますが、極小値を与えるx=3aがxの範囲にある場合、3a≦xではf(x)が単調増加に転じますので、aの値によってはf(2)がx=aにおける極大値を越える場合が起こりあえます。
つまり最大値は f(a)とf(2)の大きい方となります。
f(a)=4a^3=f(2)=18a^2-24a+8となる時がその境目のa(極大値を与えるxの値でもある)になります。このaを求めるとa=1/2とa=2が出てきます。

この２つのaの下側、間、上側の範囲で場合い分けを行います。
このため2つのaの間の範囲での場合分けが(ii)に当たります。

>x=aで最大値をとるときのaの範囲は 0<a≦2 だと思ったのですが

x=aで最大値でなく極大値をとる範囲が0<a≦2です。
極大値と最大値の区別が理解できていないのでは？

0<a<1/2では 極大値f(a)>f(2)なのでf(a)が0≦x≦2の範囲の最大値になりますが、
1/2<a<2では 極大値f(a)<f(2)なのでf(a)が0≦x≦2の範囲の最大値とはなりません。f(2)が最大値になります。なので(ii)の場合分けが必要になるのです。

0<a<1/2の場合のグラフと1/2<a<2の場合のグラフを描いて、比較して、よく考えて見てください。

お礼

おっしゃるとおり最大値と極大値を区別できていなかったみたいです。
わかりやすいご説明ありがとうございました。

皆さん本当にありがとうございました。
感謝しています。

回答No.2

naniwacchi

＞f(x)=x^3-6ax^2+9a^2
最後の項は xが抜けていますか？
f(x)=x^3- 6a* x^2+ 9a^2* xであるとします。

＞f '(x)= …= 3(x-a)(x+a)
f '(x)= (x- a)(x- 3a)になりますね。
a＞ 0より a＜ 3aとなり、x= aで極大値、x= 3aで極小値を得るところもいいと思います。

f(a)= 4a^3, f(2)= 18a^2- 24a+ 8を比較したとき、必ず f(a)が大きいと言えますか？
f(a)= f(2)となる場合（高さが同じ）を考えてみてください。

3次関数のグラフは、2次関数のグラフと違って「軸（極点）に線対称」とはなりません。
ですので、大きさ比較は「高さ（y座標）」でおこなう必要があります。

「4a」という場合分けよりも、単純に aを 0から大きくしていき、
(iii) f(a)＜ f(2)のとき （0＜ a＜ 1/2のとき）
(ii) f(a)≧ f(2)のとき （1/2≦ a≦ 2のとき）
(i) 0≦ x≦ 2においては単調増加となり、f(2)が最大のとき
（2＜ aのとき⇒極大点が xの範囲外）

とした方がわかりやすいと思います。
上の (i)～(iii)は、質問者さんの場合分けに合わせています。

お礼

申し訳ありません。
おっしゃるとおり最後の項はxが抜けています。

わかりやすいご説明ありがとうございました。

回答No.1

de_tteiu

＞どうして a≦2≦4a という条件なのですか？
x=aで最大値をとるときのaの範囲は 0<a≦2 だと思ったのですが何故 0<a≦2 では駄目なのですか。

例えばa=1/4の時、4a=1となるので最大値はf(2)=18a^2-24a+8になりますよね
つまり、x=aが最大値になる時はf(2)≦f(a)とならなければならないわけです、そのために2≦4a という条件が必要なわけですね

グラフの形を考えれば分かります

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。
f(2)とf(a)の値を比べなければならないのですね。