2次方程式と2次関数の最大値の問題

質問

aを正の定数とする。関数f(x)=|x-3a|(x-a)について、以下の問に答えよ。

(1) a = 1のとき f(x)の0≦x≦2における最大値・最小値を求めよ。

(2) 0＜a≦1のとき、f(x)の0≦x≦2における最大値を求めよ。

とありました。
(2)の解き方がまったくもって手がつかず解答解説を見て余計意味不明になりました。

(1)は自力で解答して普通にあっていて理解できています。

(1)に関して、まず、絶対値があるのでその範囲を注意しながら二つの式を立てました。
(x-3a)(x-a)をg(x)と置きます。
ここで、
f(x) = g(x) (xがx≧3aのとき)
f(x) = -g(x) (xがx≦3aのとき)

よって、aがa=1なので-g(x)に代入してそこから軸と範囲の関係より
x=2で最大値1
x=0で最小値-3
とあっていました。

ここからです。

(2)はどうやってアプローチしていいかもわからなかったので解答解説をみたら次のように書かれていました。

[解答・解説]
(x-3a)(x-a)をg(x)と置きます。
ここで、
f(x) = g(x) (xがx≧3aのとき)
f(x) = -g(x) (xがx≦3aのとき)

aは正の定数より a>0, よって　a<3a

またf(2a)=a^2より、　g(x)=a^2とすると

x^2 -4ax +3a^2 = a^2
x^2 -4ax +2a^2 = 0
よってx = (2±√2)a
aは正の定数より　x = (2+√2)a
よってf(x) = a^2の二つの解は　x=2a, (2+√2)a
更に0＜a ≦1より　2a≦2
(i) (2+√2)a >2 つまり、　2－√2<a<1のとき　最大値 a^2
(ii) 0 ≦a ≦2-√2のとき、　g(2) = 3a^2 -8a +4

よって、
0<a≦2－√2のとき　最大値3a^2－8a+4
2－√2<a≦1のとき　最小値a^2

と書いてありました。

まず、このアプローチで不明な点です。
どうして上記の

またf(2a)=a^2より、　g(x)=a^2とすると
となるのでしょうか、
なぜ、解説者はいきなりf(2a)=a^2だよね。というのをいきなり使うのでしょうか。
そして、範囲は0≦x≦2のときにおいて、
適応する式は上記のとおり-g(x)でなければならないのに
どうしてg(x) = a^2だからという文言がありこの後の解答に続くのでしょうか。
-g(x) = a^2というのならば確かに平方完成すると
-g(x)の頂点は　(-2a, a^2)になるのでこの最大値を利用したいのかということが雰囲気では感じられますが謎すぎます。

また(i) (2+√2)a >2 つまり、　2－√2<a<1のとき　最大値 a^2
とありますが、
つまり、2－√2<a<1とどうして出せるのかこの範囲指定の計算も恥ずかしながらわかりません。

全滅で落ち込んでいます。
わかりやすくご指導いただけること切にお願い申し上げます。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

y=f(x)のグラフは
x≦3aでは上に凸の放物線でx=2aで極大となる。極大値はf(2a)=a^2
3a≦xでは下に凸の放物線で単調増加となる。
このときx=2はどの辺になるかというと，2a≦2だからx=2aよりも右側です。
従って3a≦xでf(x)=a^2となるxよりも右側にx=2があれば，x=2でf(x)は最大になるし，左側にx=2があればx=2aでf(x)は最大になるのです。
ちゃんとグラフの概形を描いてください。

そうすると3a≦xでf(x)=a^2となるxを求めたくなるのは必然です。「またf(2a)=a^2より、g(x)=a^2とすると」とするのは，このxを求める布石です。
「f(2a)=a^2だよね。というのを使う」のは極大値を求めておきたいからです。

> そして、範囲は0≦x≦2のときにおいて、適応する式は上記のとおり-g(x)でなければならない

f(x) = -g(x)となるのはx≦3aのときであって，0≦x≦2のときではありませんよ。

> (2+√2)a >2 つまり、　2－√2<a<1のとき

(2+√2)a >2であれば，a >2/(2+√2)となって2-√2<aですよ。
a<1の方は，a≦1の間違いでしょう。そしてこれは条件として与えられています。

お礼

早速のお返事誠にありがとうございます。
また、どのように考えればよいのかも大変ご丁寧にご指導下さりありがとうございました。
いまご指導いただきましたことを踏まえてグラフをかきながら最大値のピークであるa^2をx軸に水平に点線を書きながら重要であるx=2の領域の解釈とその場合分けの考え方をようやく理解できました。

今後ともご指導の程謹んでお願い申し上げます。本当にありがとうございました。