3次関数の最大・最小
- f(x)=-2ax^3+3a^2 x^2 の 区間0≦x≦2における最小値を求める
- a>0とする。0＜a≦4/3 のとき 最小値は f(2)=-16a+12a^2
- 4/3 のとき 最小値は f(0)=0
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3次関数の最大・最小
f(x)=-2ax^3+3a^2 x^2 の 区間0≦x≦2における最小値を求めよ。 ただしa>0とする。 解答は、 f(0)=0、f(2)=-16a+12a^2 (i) f(0)≧f(2) となるのは 0≧-16a+12a^2 4a(3a-4)≦0 よって0＜a≦4/3 のとき 最小値は f(2)=-16a+12a^2 (ii) f(0)<f(2) となるのは 4/3<aのとき 最小値は f(0)=0 (i)(ii) より 0＜a≦4/3 のとき x=2で 最小値-16a+12a^2 4/3 のとき x=0で 最小値0 となるのですが、 (i)は f(0)≧f(2) という条件ですが、これだとa=4/3のとき f(0)=f(2)になりませんか？ xが0のときと、2のときの両方で最小値をとると思うのですが、どうしてこのような場合分けになるかがわかりません。 自分は f(0)>f(2) すなわち 0＜a＜4/3 のときx=2で最小値16a+12a^2 f(0)=f(2) すなわち a=4/3 のときx=0、2で最小値0 f(0)<f(2) すなわち 4/3<a のときx=0で最小値0 という答えになるべきだと思うのですが、どうして不正解なのでしょう。
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＞(i)は f(0)≧f(2) という条件ですが、これだとa=4/3のとき ＞f(0)=f(2)になりませんか？ そのとおりです。 そのために、f(0)＞f(2)ではなく、f(0)≧f(2)と等号が入っていることになります。 ＞という答えになるべきだと思うのですが、どうして不正解なのでしょう。 不正解ではありませんよ。それでも正解です。 書かれている解答だけが正解とは限りません。 （見た目じゃなくて、中身が大事ということです） 2次関数や 3次関数は、なだらかに連続した関数になるので、 まとめて模範解答のように書いても問題ないというだけです。 場合分けでの等号の入れ方も ・f(0)＜f(2)、f(0)≧f(2) ⇒ 0＜ a≦ 4/3 と 4/3＜ a ・f(0)≦f(2)、f(0)＞f(2) ⇒ 0＜ a＜ 4/3 と 4/3≦ a のどちらでも間違いではないことになります。 問題集などの解答を見ていると、 「○＜ x≦ △」のように「右端」に等号を入れて書く場合が多いように思います。
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