ベクトルで困っています

質問

この問題の解説をお願いします・・・・。

空間内に同一平面にない4点O、A、B、C、および実数ｔに対して
→OP=１/2→OA+2ｔ→OB＋（1-5t）→OCで定められる点Pがある。
（ⅰ）Pが平面ABC上にあるときのｔの値を求めよ。またこのとき三角形PAB、PBC、PCAの面積比を求めよ
（ⅱ）Pは平面上にない。四面体OABCの体積をVとするとき、四面体PABCの体積をVとｔで表せ。

答えは順番に(i)1/6, 1:3:2,　(ⅱ）l1/2-3tlV

（ⅱ）は絶対値がついてます!
ベクトルの表記がわかりにくくて
申し訳ありません・・

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

ベクトル記号を省略して書きます。

（ⅰ）
Pが平面ABC上にあるとすると、
CP=aCA+bCB
と書き表せられる。
OP-OC=a(OA-OC)+b(OB-OC)
OB=aOA+bOB+(1-a-b)OC
よって、
a=1/2、b=2t、1-a-b=1-5t
これからt=1/6が求められる。

CP=1/2CA+1/3CB=5/6(3/5CA+2/5CB)
なので、
三角形PABの面積は、三角形ABCの1/6
同様に、
三角形PBCの面積は、三角形ABCの1/2
三角形PCAの面積は、三角形ABCの1/3

（ⅱ）
ベクトルOPが平面ABCと平行になるとすると、
OP=aCA+bCB
と書き表せられる。
OP=a(OA-OC)+b(OB-OC)
OB=aOA+bOB+(-a-b)OC
よって、
a=1/2、b=2t、-a-b=1-5t
これからt=1/2が求められる。

よって、t=1/2のとき体積はV、t=1/6のとき体積は0となる。
体積はtに関して一次関数なので、
|(1/6-t)/(1/6-1/2)V|=l1/2-3tlV