cosの合成?

質問

cos2x-√3sin2x=2(1/2cos2x-√3/2sin2x)
までいいのですが
=2cos(2x+π/3)となるのが分かりません。
初歩的なことかもしれませんが、教えてください。
ベクトルの内積?で解けるようですが分かりません。途中式をお願いします。

回答No.1

okormazd · ベストアンサー

1/2=cos(π/3)
√(3)/2=sin(π/3)
でもダメか。

回答No.3

naniwacchi

sin(2x+α)の形で合成しても、
sinθ= cos(θ-π/2)で変形できますね。

三角関数の合成は加法定理の応用ですので、
使う加法定理の式によっては cosで書き下すことも可能です。

回答No.2

R_Earl

> ベクトルの内積?で解けるようですが分かりません。途中式をお願いします。

ベクトルの内積を用いる方法は知らないので別の方法を示します。
実は三角関数の合成公式は、三角関数の加法定理を逆にしただけなんです。

cosの加法定理は
cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
です。
この右辺と左辺を逆にして

cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) = cos(a + b)

とすると、cosへの合成公式ができあがります
(sinへの合成公式もこれと全く同じ考え方です)。
この式の左辺と1/2cos2x - √3/2sin2xを見比べてください。
bが2xに対応し、1/2がcos(a), √3/2がsin(a)に対応します。
1/2がcos(a), √3/2がsin(a)となるのは、a = π/3の時です。
なので

1/2cos2x - √3/2sin2x
= cos(π/3)cos(2x) - sin(π/3)sin(2x)
= cos(2x + π/3)

となります