はさみうちの原理の証明なんですが＾＾；

質問

先ほど解説してもらった中で…わからなかったところがあったので、もう一度投稿致しました。
どなたでもよろしいのでぜひ教えて下さい。
[問題]a1=3,a(n+1)=2+√anが成り立つ。このとき0<4-an<1/2(4-a(n-1))　(n=1,2,3,…)が成り立つことを示せ。

【自分の考え】
0<4-anは自分で数学的帰納法を用いて解くことができたのですが,4-1n<1/2(4-a(n-1))のほうを証明することができません。

どなたかよろしくお願いいたします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

さっきの続きということで ＾＾；

(右辺)－(左辺)＞０を示すことを考えます。

(右辺)－(左辺)
= 1/2* { 4- a(n-1) } - { 4- a(n) }
= 1/2* { 4- a(n-1) } - { 4- 2- √a(n-1) }
= -1/2* a(n-1) + √a(n-1)
= 1/2* { 2√a(n-1)- a(n-1)} …(1式)
= 1/2* √a(n-1)* { 2- √a(n-1) } …(2式)

実はここが計算のポイントになるところでした。
(1式)の形でもいいのですが、(2式)の形に変形した方がわかりやすいです。

0＜√a(n-1)＜2であることが示されていれば、(2式)が正であることが示せます。
0＜√a(n-1)であることと
√a(n-1)＜２ ⇒ a(n-1)＜４（！）であることがしめされればよいです。

お礼

ありがとうございました＾＾
ここの上から下への式変形を
= 1/2* { 4- a(n-1) } - { 4- a(n) }
= 1/2* { 4- a(n-1) } - { 4- 2- √a(n-1) }

anに合わせてしようとしたら
２乗とかでてきて…＾＾；

本当にありがとうございました＾＾ｗ