はさみうちの原理の証明です。

質問

[問題]a1=3,a(n+1)=2+√anが成り立つ。
（1）0<4-an<1/2(4-a(n-1)) (n=2,3,4,…)が成り立つことを示せ。
（2）lim(an)を求めよ。※n→∞です^^；

[自分の考え]
(1)は一番右の式の中のa(n-1)がa(n+1)だと解けそうなのですが,これでは解けません^^；
(2)は(1)の証明内容が0≦のように0を含んでいたらできそうなのですが…。

教えてください。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ＾＾

＞(1)は一番右の式の中のa(n-1)がa(n+1)だと解けそうなのですが,これでは解けません^^；
そんなことないですよ。
逆に、a(n+1)だと証明が大変になります。（きっと）

＞(2)は(1)の証明内容が0≦のように0を含んでいたらできそうなのですが…。
0を含んでいる必要はありません。
「はさみうち」ということは分かっておられるようなので、答えはわかっていると思います。
極限値はあくまでも「極限の値」であって、その値に近づいていくだけです。
ですので、＝０になる必要はありません。

少々長いですが、方針を書いてみます。
不等式相手で少しややこしいかもしれませんが、計算自体はやさしい部類なので
あせらずじっくりやればできると思います。

(1)は数学的帰納法を使いまくり、(2)は(1)の結果を「使いまくり」ましょう。

(1) 不等式は次の２つにわけることができます。
(a) 0＜4－ a(n)
(b) 4- a(n)＜ 1/2*{ 4- a(n-1) }

まず、(a)を示しましょう。帰納法です。
n= 1のときは明らかですね。
n= kのとき成り立つと仮定して、n= k+1も示します。
ただし、このときに a(n)＞0であることも必要になります。
これも別に帰納法で示しておいた方が無難です。（ほとんど自明ですが）

式変形のヒントとしては、
4- a(k)＞0 ならば a(k)＜4 ですね。
a(k)が正ならば 4= 2^2なので…

次に、(b)です。
こちらは、単純に(右辺)-(左辺)を計算します。
その中で、a(n)＜4の条件をうまく使うと不等式が証明できます。

(2) 書かれているとおり、はさみうちの原理ですね。＾＾
(1)の不等式をよく見てください。（特に右側）

4- a(n)の形が同じように書かれていますが、右にいくと 1/2がかかっています。
さらに、4- a(n-1)＜ 1/2* { 4- a(n-2) }ですね。
このように、(1)の結果を「使いまくる」と最後には右辺が { 4- a(1) }の形に行き着きます。
そのとき、1/2はどうなっているのか、そして n→∞となるとどうなるのか…
「はさみうち」なので、もう検討はつきますね。

お礼

ありがとうございました＾＾
細かい説明が分かりやすかったです＾＾