中学３年生で習う分数の因数分解です。この解き方で正解でしょうか？

質問

問題

１　　　　　　　　１　　　　　１
――　Ｘ＾2　－　――ＸＹ　＋――Ｙ＾2
４　　　　　　　　３　　　　　９

　１　　　　　　４　　　　　　　４　　
＝――(Ｘ＾2－　――　ＹＸ　＋―――　Ｙ＾2)
　４　　　　　　３　　　　　　　９

　１　　　　　２
＝――(Ｘ－　――Ｙ)＾2
　４　　　　　３

これが正解だと思うのですが、
１　　　　　　　　１　　　　　１
――　Ｘ＾2　－　――ＸＹ　＋――Ｙ＾2
４　　　　　　　　３　　　　　９

ついつい因数分解公式

ａ＾2－2ａｂ＋ｂ＾2＝(ａ－ｂ)＾2に当てはめて

　　１　　　　　　１
＝(―――Ｘ　－―――　Y)＾2
　　２　　　　　　３

にしてしまいそうです。こちらは間違いですよね？

わかりにくい書き方ですがよろしくお願いします。

回答No.4

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

＞ついつい因数分解公式
＞ａ＾2－2ａｂ＋ｂ＾2＝(ａ－ｂ)＾2に当てはめて
＞にしてしまいそうです。こちらは間違いですよね？

いいえ。間違いじゃありません。

(1/4)・{x-(2/3)y}^2
は変形すると
{(1/2)x-(1/3)y}^2
になります。

1/4（４ぶんの１）は「1/2（２ぶんの１）の２乗」なので
a^2×b^2=(a×b)^2
より、質問者さんが間違いだとした式になります。

検証
(1/4)×{x-(2/3)y}^2
=(1/2)^2×{x-(2/3)y}^2
={(1/2)x-(2/3)×(1/2)y}^2
={(1/2)x-(1/3)y}^2

更なる検証として、元の式を３６倍してから因数分解し、３６で割ってみましょう。

３６は「６の２乗」なので
a^2÷b^2=(a÷b)^2
より、質問者さんが間違いだとした式になります。

検証１
(1/4)x^2-(1/3)xy+(1/9)y^2
=(36/4)x^2-(36/3)xy+(36/9)y^2÷(6*6)
=9x^2-12xy+4y^2÷(6*6)
=3*3x^2-2*3*2xy+2*2y^2÷(6*6)
=(3x-2y)^2÷(6*6)
=(3x-2y)^2÷(6^2)
=(3x÷6-2y÷6)^2
=(3x÷6-2y÷6)^2
={(3÷6)x-(2÷6)y}^2
={(1/2)x-(1/3)y}^2

「因数分解の答え」としては
={(1/2)x-(1/3)y}^2
の方がスマートだと思います。

回答No.3

Trick--o--

(1/4)x^2 - (1/3)xy + (1/9)y^2
ですよね
後者の方がスマートで良いとおもいますよ

= ((1/2)x)^2 - 2(1/2)(1/3)xy + ((1/3)y)^2
= ((1/2)x - (1/3y))^2

立ってるものは親でも使いましょう

回答No.2

SaySei

両方、合っていますよ。

1/36（3x-2y)^2
でも同じことです。

質問中の上の答えである
1/4（x-2/3y)^2
の1/4を２乗の（）内に入れると、
（x-2/3y)^2/2^2
＝{(x-2/3y)/2}^2
＝(1/2x-1/3y)^2
となります。

回答No.1

kamiya-ka

したの方も正解ですよ。
上の1/4を二乗の中に入れるので、それぞれに1/2をかけているだけで同じ式です。