三角関数の問題について質問です。直円錐の体積を求めたいのですが・・・

質問

大学生用の微分の教科書で勉強をしていると、「三角関数の導関数」という章の練習問題に、次のような問題がありました。

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半径a、中心角2π/3の扇形で作った直円錐の体積を求めよ。ただし継ぎ目の重なりはないものとする。
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という、非常に問題文はシンプルなのですが、どう解けばよいのかわかりません(>_<)
解答だけ「(2√2/81)πa^3」と載せてあるのですが、途中の過程をどうすればいいのかさっぱりです(;_;)
なんとなくラジアンを使うっぽいので、

l＝rθ
http://www.keirinkan.com/kori/kori_physics/kori_physics_2_kaitei/contents/ph-2/1-bu/1-2-1.htm

という公式を使って、

l=(2/3)πa

という、弧の長さを出してみました。あとは、

直円錐の体積↓
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=04000000.%90%94%8Aw%8C%F6%8E%AE%8FW%2F01500000.%91%CC%90%CF%81E%95%5C%96%CA%90%CF%2F12000200.%92%BC%89~%90%8D%82%CC%91%CC%90%CF%2Fdefault.xml

の公式を使ったりするような気もするのですが、高さhに相当する値をどう出せばいいのやら・・・皆様のお力をお貸しいただきたいです(>_<)
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>　l=(2/3)πa
>　という、弧の長さを出してみました
これが底面の円の円周の長さにになりますので
2πで割ると底面の円の半径bになります。
b=l/(2π)=a/3
3平方の定理を使って円錐の高さhえを求めると
　h=√(a^2-b^2)=a√{1-(1/3)^2}=(2√2)a/3
円錐の底面積Sを求めると
　S=πb^2=π(a^2)/9
従って円錐の体積Vは
　V=Sh/3=(2√2/81)πa^3
となります。

お分かりですか？

お礼

なるほど、そうですよね、弧の長さが、直円錐の底面の円周の長さに相当するんですね！
いやはや気づきませんでした(^_^;)

2bπ=l(円周の長さ)
b=l/2π

や、

S=πr^2
http://www.lancemore.jp/mathematics/math_012.html

等の、公式的な箇所も、ちゃんと知らなかったのですが、info22さんのコメントで理解することができました。
いやはやありがとうございます<m(__)m>

回答No.2

alice_38

底円周が計算できているようですから、
底円半径は求められますね？
母線長と底円半径が判れば、
回転軸を含む平面で円錐を切断した
断面の二等辺三角形が描けますね。
(↑大切なのは、ココ！)
二等辺三角形の底辺へ頂点から垂線を引けば、
円錐の高さを求めるために
その直角三角形で何をすればよいのか
が解るでしょう。

それとも、答えを全て書かないと
ダメですか？

お礼

大丈夫です、わかりました(^_^;)
ありがとうございます<m(__)m>