数学Ⅱの問題を教えてください！

質問

数学Ⅱの導関数の応用問題です。

「ａを実数とし、関数f(x)＝x(３乗)－3ax＋a を考える。0≦ｘ≦1において、f(x)≧０となるようなａの範囲を求めよ。」

この解答を教えてください！
出来れば細かく教えていただければ嬉しいです。

回答No.6

info22

#2です。
うっかりミスの訂正です。

>最小値の条件から　1-2√a≧0 → a≧1/4
　　→ a≦1/4
従って
>必要条件とあわせて
>1/4≦a≦1/2
　0≦a≦1/4
となります。

回答No.5

mister_moonlight

屋上屋を重ねるようだが。。。。。。ｗ
数IIに限定されているようだが、数IIIまでなら他にも解法がある。

数IIで纏めてみる。条件を満たすには、0≦ｘ≦1の範囲で、f(x)の最小値≧0である為の条件を求めると良い。

f(x)＝x＾3－3ax＋a であるから、f´(x)＝3x＾2－3a＝3*（x＾2－a） 。
(1)a≦0の時、f´(x)≧0より単調増加であるから、f´(0)＝a≧0より、a＝0の時のみ成立。
(2)a＞0の時、f´(x)＝0を解くと、x＝±√aであるから
・√a≧1の時、f(0)＝a＞0、f(1)＝1-2a≧0より、0＜a≦1／2となり、a≧1に反するから不適。
・a＜1の時、x＝√aで極小、且、最小から、f(√a)＝a（1-2√a）≧0であるから、a≦1/4.　→　0＜a≦1/4.

以上、(1)と(2)の場合より、0≦a≦1/4

回答No.4

noname#108210

#2さんの
＞最小値の条件から　1-2√a≧0 → a≧1/4
で
1/4≧a
なので
1/4≧a≧0
です。

回答No.3

Lokapala

f(x)≧０を式変形して、
x^3≧3ax-a
とします。これは、g(x)=x^3が領域内でh(x)=3ax-aよりも常に大きければいいということになります。
h(x)=3ax-a=3a(x-1/3)
つまり、直線は(0,1/3)を必ず通ります。
グラフを書くと分かりますが、0＜a＜？ となります。
ここで、直線とg(x)=x^3が接するとき、g'(x)は直線の傾きと一致します。
g'(x)=3x^2=3a
x=√a
このｘをg(x)に代入すると、g(x)=a√aとなります。これは、ｇとｈの接点の座標です。このときのaの値は、x=√aとg(x)=a√aをh(x)に代入して求めます。a=1/4と出てきます。a=1/4で接するので、aは1/4よりも小さいです。よって？はaとなるので、
0＜a＜1/4

添付したグラフの青はg(x)、赤はh(x)です。

回答No.2

info22

質問者さんのやった解答の詳細を補足に書いて、その中の行き詰って分からない箇所を具体的に質問して下さい。
どこの何が分からないのですか？

ヒント）グラフの図を描いて考えること。

f(0)=a≧0,f(1)=1-2a≧0 →　0≦a≦1/2であること（必要条件）
f'(x)=3(x^2-a)=3(x+√a)(x-√a)
必要条件から　0≦√a≦1/√2(＜1)なので
0≦x≦1での最小値はf(√a)=a√a-3a√a+a=a(1-2√a)
f(√a)≧0 であれば f(x)≧0がいえる。
最小値の条件から　1-2√a≧0 → a≧1/4
必要条件とあわせて
1/4≦a≦1/2
がでてくる。

回答No.1

naniwacchi

「xの3乗」は、x^3で表せます。

「導関数の応用問題」ですので、まず導関数を求めましょう。
f '(x)= 3*x^2- 3a= 3*(x^2-a)

「f '(x)=0を解いて」といきたいところですが、少しよく考えてみます。
i)a≦0のとき
f '(x)≧0となります。すなわち、単調増加です。
グラフでいえば、ずーっと増えていく or 横ばいということですので、
f(0)≧0であれば題意は満たされます。

ii)a＞0のとき
f '(x)= 0を解くと、x= ±√aとなります。
x^3の係数が正ですので、おおよその概形はわかると思います。
「0≦ｘ≦1において、f(x)≧0」とは、「0≦ｘ≦1におけるf(x)の最小値が0以上」ということです。

2次関数の問題であれば、軸との位置関係で場合分けをします。
軸と同じように、「山」や「谷」となるところとの位置関係で場合分けをすることになります。