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数学Ⅱの問題を教えてください!

数学Ⅱの導関数の応用問題です。 「aを実数とし、関数f(x)=x(3乗)-3ax+a を考える。0≦x≦1において、f(x)≧0となるようなaの範囲を求めよ。」 この解答を教えてください! 出来れば細かく教えていただければ嬉しいです。

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  • 回答No.6
  • info22
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#2です。 うっかりミスの訂正です。 >最小値の条件から 1-2√a≧0 → a≧1/4   → a≦1/4 従って >必要条件とあわせて >1/4≦a≦1/2  0≦a≦1/4 となります。

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  • 回答No.4
noname#108210

#2さんの >最小値の条件から 1-2√a≧0 → a≧1/4 で 1/4≧a なので 1/4≧a≧0 です。

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  • 回答No.3

f(x)≧0を式変形して、 x^3≧3ax-a とします。これは、g(x)=x^3が領域内でh(x)=3ax-aよりも常に大きければいいということになります。 h(x)=3ax-a=3a(x-1/3) つまり、直線は(0,1/3)を必ず通ります。 グラフを書くと分かりますが、0<a<? となります。 ここで、直線とg(x)=x^3が接するとき、g'(x)は直線の傾きと一致します。 g'(x)=3x^2=3a x=√a このxをg(x)に代入すると、g(x)=a√aとなります。これは、gとhの接点の座標です。このときのaの値は、x=√aとg(x)=a√aをh(x)に代入して求めます。a=1/4と出てきます。a=1/4で接するので、aは1/4よりも小さいです。よって?はaとなるので、 0<a<1/4 添付したグラフの青はg(x)、赤はh(x)です。

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  • 回答No.2
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

質問者さんのやった解答の詳細を補足に書いて、その中の行き詰って分からない箇所を具体的に質問して下さい。 どこの何が分からないのですか? ヒント)グラフの図を描いて考えること。 f(0)=a≧0,f(1)=1-2a≧0 → 0≦a≦1/2であること(必要条件) f'(x)=3(x^2-a)=3(x+√a)(x-√a) 必要条件から 0≦√a≦1/√2(<1)なので 0≦x≦1での最小値はf(√a)=a√a-3a√a+a=a(1-2√a) f(√a)≧0 であれば f(x)≧0がいえる。 最小値の条件から 1-2√a≧0 → a≧1/4 必要条件とあわせて 1/4≦a≦1/2 がでてくる。

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  • 回答No.1

「xの3乗」は、x^3で表せます。 「導関数の応用問題」ですので、まず導関数を求めましょう。 f '(x)= 3*x^2- 3a= 3*(x^2-a) 「f '(x)=0を解いて」といきたいところですが、少しよく考えてみます。 i)a≦0のとき f '(x)≧0となります。すなわち、単調増加です。 グラフでいえば、ずーっと増えていく or 横ばいということですので、 f(0)≧0であれば題意は満たされます。 ii)a>0のとき f '(x)= 0を解くと、x= ±√aとなります。 x^3の係数が正ですので、おおよその概形はわかると思います。 「0≦x≦1において、f(x)≧0」とは、「0≦x≦1におけるf(x)の最小値が0以上」ということです。 2次関数の問題であれば、軸との位置関係で場合分けをします。 軸と同じように、「山」や「谷」となるところとの位置関係で場合分けをすることになります。

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