√2と√6-1の大小関係について

質問

√2と√6-1を比較するときに、

√2=1.41
√6-1=√2×√3-1=1.41×1.73-1=1.44

でも分かりますが、式を変形することにより語呂を使わずに分かる方法はないのでしょうか？
塾のバイトで生徒に教えるため語呂のやり方でいいのか分かりません。よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

両方、正なので
自乗して大小を比較すればいいでしょう。
(√2)^2-(√6-1)^2=2-7+2√6=2√6-5=√24-√25＜0
(√2)^2＜(√6-1)^2…(●)
√6-1＞なので
√2＜√6-1
といった具合。

(●)以降は以下のようにしてもよい。
(√6-1)^2-(√2)^2＞0
因数分解して
{(√6-1)+(√2)}{(√6-1)-(√2)}＞0
(√6-1)+(√2)＞0なのでこの式で割って
{(√6-1)-(√2)}＞0
あとは結論の大小関係式を書くだけ。

お礼

なるほど！ありがとうございます。非常に助かりました！

回答No.2

felicior

「両辺が正の時に限り、両辺を２乗しても大小関係は変わらない」
をポイントとして強調して教えれば良いでしょう。

これ自体が問題ならNo.1さんの回答のようにするべきですが、
問題の一部としてパッとチェックするだけなら次の方法が簡便です。

　　√2 と √6－1
引き算が消えるように移項します。(こうすると負の数の処理がなくなります。)
　　√2＋1 と √6
右辺のルートを消すため両辺を２乗します。
　　3＋2√2 と 6
左辺がルートの項だけになるよう両辺から３を引きます。
　　2√2 と 3
左辺のルートを消すため両辺を再び２乗します。
　　8 と 9
よって√2＜√6－1

でもまぁ一番速いのは10くらいまでのルートの値を暗記することですね。

お礼

ありがとうございます！非常に助かりました！