円に外接する多角形の周は、どうして円周より大きいのでしょうか

質問

円に外接する多角形の周は、どうして円周より大きいのでしょうか。

円周と面積を関係づけた（同じ比例定数πがあらわれることを示した）アルキメデスの「円の計測」を読んでいて、円に外接する多角形の周は円周より大きいことが当然のこととして使わていることが理解できませんでした。
円に内接する多角形の周は円周より小さいのは明らかとして、外接多角形の周が円周より大きいことは自明なのでしょうか。

おわかりの方教えてください。

回答No.11

stomachman

まだ手を抜きすぎのようですんで、もうちょっとだけ頑張ってみましょう。
（本気で読んで理解しようとしない方が良いですよ。あらすじだけ追って下されば幸いです。）

●Rを実数の集合とする。連続関数f:R→Rが、∀x∈R,∀y∈R;f(x+y)=f(x)f(y)であるならば、∀x∈R; f(x)=0 もしは ∃a>0; ∀x∈R; f(x)=a^xです。特にlim{x→0}(f(x)-f(0)/x = 1である場合、a=eになります。これを複素数に拡張します。

●Cを複素数の集合とする。連続関数f:R→Cが、∀x∈R,∀y∈R;f(x+y)=f(x)f(y)、lim{x→0}(f(x)-f(0)/x = 1であるならば、∀x∈C; |f(x)|=0 もしは ∃a(a∈R∧a>0∧∀x∈C; |f(x)|=a^xです。ここで
g(x) = a^(-x)f(x)
という関数gを導入すると、連続関数g:R→Cは∀x∈R,∀y∈R;g(x+y)=g(x)g(y)、∀x∈R;|g(x)|=1である。そこでg(x)の実部をc(x), 虚部をs(x)と書くことにします。つまりg(x)=c(x)+i s(x)。するとc,s:R→Rは連続関数であり、
g(x)g(y) = (c(x)c(y)-s(x)s(y))+i(s(x)c(y)+c(x)s(y))
を満たす。故に、
|g(x)|^2 = (c(x))^2+(s(x))^2=1
であり、さらに加法定理
∀x∈R,∀y∈R;c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y)
∀x∈R,∀y∈R;s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y)
を満たさなくちゃならない。これらを満たすc(x),s(x)を求めよ、という問題です。

●そこでまず、実数の無限列{c[n]}, {s[n]} (n∈N, Nは0を含む自然数）を以下のように定義します。
c[0]=0,s[0]=1
∀n∈N; c[n+1]=√[(1+c[n])/2]
∀n∈N; s[n+1]=√[(1-c[n])/2]
とすると、（c[n]^2+s[n]^2=1ですね。）
このとき、{(2^n)s[n]}はn→∞で収束します。この収束値をαとしましょう。

●次に、∀β∈R, β>0について、
・加法定理を満たし、しかもc((2^[-n])β)=c[n]、s((2^[-n])β)=s[n]であるような連続関数s,c:R→Rが一意的に存在することが（なかなか手間が掛かるけど）証明できます。（従ってc(β)=0, s(β)=1です。）しかもそのs,cは
　∀m∈Z (整数)、∀n∈Nに対して、x=m(2^[-n])βとおくと(c[n]+i s[n])^m=c(x)+i s(x)
を満たすことが示せます。
すると区間[0,β]に於いてcは単調減少、sは単調増加であって、n→∞のとき、s((2^[-n])β)/((2^[-n])β)→α/βとなります。これをもとにして、
x∈Rに対して lim{x→0}s(x)/x=α/β
が証明できます。そこでβをβ=αに固定してしまいます。（あとまだこちゃこちゃしたことをやらなくちゃいけませんが、）かくて

●cos = c、sin = s、π=2αと定義すると、
(cos(x))^2+(sin(x))^2=1
∀x∈R,∀y∈R;cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
∀x∈R,∀y∈R;sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
x∈Rについてlim{x→0} sin(x)/x = 1
∀x∈R; e(ix) = cos(x)+i sin(x)
その他、sin,cosの性質一式やπの値の計算方法などが導き出されます。
以上、冪級数は使ってないし、だから加法定理もすんなり出てきたわけです。

●関数p:R→R×R、∀θ∈R; P(θ)=<cosθ, sinθ>を考えると、
∀θ; |p(θ)|^2=(cosθ)^2+(sinθ)^2=1
です。ここでθを「角度」と呼ぶことにする。pを「単位円」と呼ぶ。そして円弧を実数の区間[η,ξ]のpによる像として定義します。
さらにsin,cosの微分。結果だけ言えば、ご承知の通り
d(sinθ)/dθ=cosθ、d(cosθ)/dθ=-sinθ
です。これで円の話はだいたいできた。

●次に解析幾何学に於けるユークリッド距離の概念を構成しなくちゃいけない。
一般に曲線は連続関数u,v:R→Rによって、連続関数l:R→R×R, l(t)=<u(t),v(t)>を定義し、その長さを
integral{t=x～y}|l(t)|dt
と定義します。従って円弧の長さは
integral{θ=η～ξ} |p(θ)| dθ
と定義することになり、線分はu,vがtの一次式である場合に相当するわけです。

●このようにして、図形のイメージを全然使わないで解析幾何学を構成していくと、ようやく等周問題を論じられるようになる。いやはや大変ですね。

お礼

stomachmanさん、ご回答どうもありがとうございました。
教えてgoo事務局から、新しい回答をいただいたお知らせのメールが
どういうわけか届いていなかったので、stomachmanさんのご回答に
気づいていませんでした。
お礼を申し上げるのが遅くなり申し訳ございません。

私が勘違いしていたようです。冪級数でなくて、
指数関数の実部と虚部とで定義したのですね。

やはり、

lim{x→0} sin(x)/x = 1

は手でいれるしかないのですね。
これはユークリッド幾何の範囲内で証明のしようがないもの
なのでしょうね。それがなぜかはうまく言えませんが。

その後の議論も大変勉強させられました。

どうもありがとうございました。