円に外接する多角形の周は、どうして円周より大きいのでしょうか

質問

円に外接する多角形の周は、どうして円周より大きいのでしょうか。

円周と面積を関係づけた（同じ比例定数πがあらわれることを示した）アルキメデスの「円の計測」を読んでいて、円に外接する多角形の周は円周より大きいことが当然のこととして使わていることが理解できませんでした。
円に内接する多角形の周は円周より小さいのは明らかとして、外接多角形の周が円周より大きいことは自明なのでしょうか。

おわかりの方教えてください。

回答No.9

stomachman

本当に鋭い質問で、舌を巻いています。

＜Nakaさん。
果たして扇形の面積がこれで良いのかどうか、が議論になっているんです。扇形の面積＝lr/2というのは、lが円弧の長さである以上、自明ではありません。（たとえば、もし円が細かく見たら歯車だった、というんだと、これは成り立たないでしょう？）

　つまり円周の長さとしてどんな測度を入れるか、要するに曲線の長さって何？という位相が本質的に重要になります。

　stomachmanはまず「円を、Oを中心として任意の(実数値)角度だけ回転しても、もとの円と（測度も含め）合同である」ということを前提して「ゆえに中心角が∠POQ度である円弧の長さlは円周の（∠POQ/360)倍である」に持っていく論法を検討したんですが、結局は、曲線の長さの測度は微分法：「局所の直線近似」を基本にして定義されているのがそもそもアヤシイ（これを認めたらアルキメデスの議論も当然妥当）という議論に陥りました。等周問題もこの測度の上に成り立っているので堂々巡りです。
　円弧が微分可能な連続関数でなきゃならん。どうしてかというと、まあコーシーでも一杯飲みながら、というながながとした議論をやらないと到底結論に行き着けない。
　さて、三角関数を微積分も幾何学も使わないで定義する方法として、加法定理 f(x+y)=f(x)f(y)という関数方程式の解としてf(z) = a^zを求め、zを複素数に拡張して実部と虚部を分離することによってsin x, cos xおよびその性質全部を引きずり出す手があります。つまり
f: C→C(連続関数)
∀z,w∈C；f(z+w)=f(z)f(w)かつz→0のときf(z)-f(0)=z
から、
f(z) = f(x+yi)=(cos(y)+i sin(y))exp(x)
の存在が証明できます。もうすこし詳しく見ると、{c[n]},{s[n]}を実数列として、
c[0]^2+s[0]^2=1
c[n+1]=√((1+c[n])/2),s[n+1]=√((1-c[n])/2)
とするときに、加法定理
c(x+y)=c(x)c(y)-s(x)s(y), s(x+y)=s(x)c(y)+c(x)s(y)
を満たすc,s: R→R
n∈Nに対してc(β/(2^n))=c[n], s(β/(2^n))=s[n]
が一意的に存在することが証明されます。z→0のときf(z)-f(0)=zを要請してここでβを固定し、かつc[0]=0, s[0]=1と決めてやる。それでやっと
π=2β
によってπが定義されます。（途中を思い切りすっ飛ばしているので、これだけじゃ全然わからんと思いますが）。
　これでようやく、解析幾何学で円をsine,cosineで表現する（半径一定の曲線として）ことができるようになったわけですが、じゃあ円周の長さがこれと何の関係があるの？
　というわけで、ようやく円周の微分が可能であることが証明できる。微積分にお出まし願うのはこの後ということになります。

　うわあ。数学基礎論のちょっとした難題ではありますまいか。

お礼

stomachmanさん、ご回答どうもありがとうございます。

stomachmanさんの議論では、サインはべき級数展開で定義されている
わけですよね。幾何学的な議論では無理ということなのでしょうか。

昔読んだ杉浦光夫氏の解析入門にはサインを解析的に扱うためには
（図形的な定義でなく）べき級数で定義しなければならないとありましたが、
私は何か納得がいかなったことを憶えています。
べき級数展開で定義したとなると図形との対応をつけるのが簡単ではないような
気がするからです。