円に外接する多角形の周は、どうして円周より大きいのでしょうか

質問

円に外接する多角形の周は、どうして円周より大きいのでしょうか。

円周と面積を関係づけた（同じ比例定数πがあらわれることを示した）アルキメデスの「円の計測」を読んでいて、円に外接する多角形の周は円周より大きいことが当然のこととして使わていることが理解できませんでした。
円に内接する多角形の周は円周より小さいのは明らかとして、外接多角形の周が円周より大きいことは自明なのでしょうか。

おわかりの方教えてください。

回答No.7

siegmund

siegmund です．

内接多角形の周は円周より小さいのは明らかですね．
２点間を直線で結んでいる内接多角形に対して，円周の方は曲線ですから．
まあ，うるさいことを言えば，２点間を結ぶ曲線の内で長さが最小のものが
線分であることも変分法的証明を必要としますが....

外接多角形の方は意外に難しいようです．
円周は内接多角形と外接多角形の間を通っていて，
角数を増やしてゆけば内外接多角形の間の面積はつぶれますが，
それが直接円周の長さと結びつかないところに難点があります．
stomachman さんの言われるように，
円の内接多角形と外接多角形の角数をどんどん増やしていけば，どっちも2πrに収束します．
(1)　間の面積がつぶれること
(2)　円周はそのつぶれるところを通っていること，
(3)　外側の長さも内側の長さも共に共通の値 2πr に収束する．
から円周も 2πr に収束することは納得できますが，
さて，これでいいんでしょうかね？
円周はフラクタル曲線みたいに無限に小さい(ただし無視できない)ギザギザなどが
あるわけではないので，直感的にはＯＫですが...

後世の視点からするなら，正ｎ角形の中心角の半分をθ=π/n として
内接多角形の一辺は 2r sinθ，外接多角形の一辺は 2r tanθ，
円弧は 2rθ ですから，sinθ＜θ＜tanθ から大小関係はわかります．
でもこれは反則ですよね．

アルキメデスの円周率の計算は stomachman さんの書かれているとおりです．
彼は内接と外接の正９６角形の周を計算し，
3.14 まで正しく求めたということのようです．

お礼

siegmundさん、またご回答をいただきありがとうございます。

そうなんです。外接多角形は意外と難しいと思います。

>円周も 2πr に収束することは納得できますが

の部分で私は少し考えがまとまっておりません。

>後世の視点からするなら，正ｎ角形の中心角の半分をθ=π/n として
>内接多角形の一辺は 2r sinθ，外接多角形の一辺は 2r tanθ，
>円弧は 2rθ ですから，sinθ＜θ＜tanθ から大小関係はわかります．
>でもこれは反則ですよね．

この不等式はどうやって出すのでしょうか。
もし、

内接三角形　< 扇形　< 外接三角形

の面積関係からだすのであれば、既に扇形の面積、つまり、円の面積を認めた
上での話になると思います。

高校ではこの不等式からサインの微分を導くので、円の面積を議論するときにはサインの微分は使いたくはないのです。

>まあ，うるさいことを言えば，２点間を結ぶ曲線の内で長さが最小のものが
>線分であることも変分法的証明を必要としますが....

変分法的証明は、2点間の最短距離が線分という前提（ピタゴラスの定理）の上ですると思うので、やはり2点間の最短距離が線分というのは仮定なのではないのでしょうか。