円に外接する多角形の周は、どうして円周より大きいのでしょうか

質問

円に外接する多角形の周は、どうして円周より大きいのでしょうか。

円周と面積を関係づけた（同じ比例定数πがあらわれることを示した）アルキメデスの「円の計測」を読んでいて、円に外接する多角形の周は円周より大きいことが当然のこととして使わていることが理解できませんでした。
円に内接する多角形の周は円周より小さいのは明らかとして、外接多角形の周が円周より大きいことは自明なのでしょうか。

おわかりの方教えてください。

回答No.8

Naka

◆Naka◆
素人考えで恐縮ですが、こんなのはどうでしょう？？
円に外接する１辺の長さがaである正多角形の、ある頂点をPとします。
その両側にある円との接点を、それぞれQ、Rとします。
そして弧QRの長さをl（←「エル」です）、円の中心をO、半径をrとします。

四角形OQPRの面積＞扇形O-QR は明らかですよね？
ここで∠OQP=∠Rですから、四角形OQPRの面積は、
r×(a/2)×(1/2)×2=ra/2
また、扇形の面積は、
lr/2

よって、
ra/2＞lr/2
r＞0より
a＞l

思いつきで書いたものなんで、間違い等ございましたら、ご指摘ください。

お礼

Nakaさん、ご回答ありがとうございます。
stomachmanさんがおっしゃっている通りです。
では、扇形の面積はどうしてそれでいいのでしょうか、
という部分を考えているのです。