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粘性率がある斜面上の小球の運動
図のように球が抵抗を受けながら斜面を転がるときの 最終到達速度がv(∞)＝mgsinθ/6πηr (質量m[kg],粘性率η[Ns/m2],球の半径r[m])と表せるとき、小球の速度が最終到達速度の99.99％になるときの時間tがｔ＝0.4886m/ηr[秒]になると書いてあるのですがtの証明がわかりません。どなたかわかる人がいましたらご教授ください。 よろしくお願いします。
- situjiseba
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この物体の運動方程式はｄｖ／ｄｔ＝ｇｓｉｎθ－λｖ／ｍ 変数分離して１／（ｇｓｉｎθ－λｖ／ｍ）ｄｖ＝ｄｔ 積分してｔ＝－ｍ／λ・ｌｏｇ（ｇｓｉｎθ－λｖ／ｍ）＋ｃ ｇｓｉｎθ＝λｖ（∞）／ｍなので ｔ＝－ｍ／λ・ｌｏｇ（λ（ｖ（∞）－ｖ）／ｍ）＋ｃ ここでｖ＝ゼロであるときとｖ＝０．９９９９ｖ（∞）である時の時間の差を求めると －ｍ／λ・（ｌｏｇ（λ＊１０＾－４＊ｖ（∞）／ｍ）－ｌｏｇ（λ＊ｖ（∞）／ｍ））＝－ｍ／λ・ｌｏｇ（１０＾－４） ≒９．２１ｍ／（６πηr） ≒０．４８８６ｍ／ηr
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