無限小の扱い

質問

洋書で
結局2つの不等式
（１）x≦y
（２）y≦x+e　（eは無限小）
から
x=yを結論しています。
まあ（|x-y|≦eがいえるからしょうがないでしょ）

さて，（２）の不等式ですが，eを足して不等号の向きを逆にしておきなが
無限小だから０として扱うってことでしょう？

こんなのありですか？

回答No.3

f272 · ベストアンサー

これが言えるのはx,yは普通の実数のときですよね。

> さて，（２）の不等式ですが，eを足して不等号の向きを逆にしておきなが
> 無限小だから０として扱うってことでしょう？

なんだかよく分からないことを言われてますが、私が理解するところだと、
stを標準部分をとる関数（超実数xに対してxに無限に近い実数を対応させる関数）だとして、x,yは実数だからst(x)=xでst(y)=yです。
またeが無限小ですからst(x+e)=st(x)=xです。
これらを基にすると、(1)からx≦yが言えて、(2)からy≦xが言えるので、x=yとなる、と言うこと。

お礼

お話が高級すぎます。
まあ私が不用意に無限小などと口走ったからでしょうが，
要するにε，δのεです。
下の原文を参照してください。

回答No.6

akubisekai

原文をみるとeはarbitraryとなっているから
eをfixしたものとして考えてはだめってことじゃない？
任意の正数εにたいしてa<b＋εならばa≦bとなるとかそういうたぐいのやつじゃないかな？
原文きちんとよんでないので適当ですが。

お礼

ありがとうございます。そういう類のやつです。
余りというか全然そういう話の進め方に
疎いもので，皆さんはどうなのかなの思ったのも
質問した理由の一部です。

で，みなさんはこの辺のeの扱いにはお慣れになっていらっしゃる
ようなので，私がただ未熟だっただけのようです。

申し訳ない。

回答No.5

Tacosan

原文を読む限り「(1) と (2) は別々の不等式であって『不等号の向きを逆にする』とかいうけったいなことは何一つしていない」としか言えない.

回答No.4

arrysthmia

文脈が何も明かされていないので、
疑問点の所在が判りにくいですね。

「e は無限小」の「無限小」は、本当に
無限小の話なんでしょうか？
そうであれば、No.3 さんの言う通り、
α≦β ならば stα≦stβ
に尽きると思います。

不用意に、未定義のまま「無限小」と口走って
しまったとすれば、「任意の(小さい)正数」と
言うべきところだったでしょう。
その場合、∀e＞0,0≦a≦e ⇔ a=0 から、
x-y=0 が言えます。

回答No.2

Tacosan

前後 (主に前) がないので今一つ意味が分からんのだけど, 邪推するに
「x=y を導く方法の 1つ」
ということなんじゃないかなぁ.
「eを足して不等号の向きを逆にしておきなが」の「不等号の向きを逆にして」が「(1) の不等式における不等号の向きを逆にして」ということであれば, 著者の言いたいことを誤解している可能性がある.
いずれにしても, 前後がない以上この辺は邪推でしかないわけだけど.

お礼

とりあえず原文を転記しました。
要するにある集合の直径とその集合の閉包の直径とは等しいということの
証明です。直感的には明らかですが・・・
Theorem
(a) If E~ is the closure of a set E in a metric space X, then diam E~=diam E.

[Proof]
Since E ⊂E~, it is clear that diam E　＜　diam E~.
Fix e>0, and choose p∈E~, q∈E~. By the definition of E~,
there are points p', q', in E such that d(p,p')<e, d(q,q')<e. Hence
d(p,q)≦d(p,p') + d(p',q') + d(q',q)＜2e+d(p',q')≦2e + diam E.
It follows that
diam E~≦2e + diam E,
and since e was arbitrary, (a) is proved.

注
diam E:The sup of S. S is the the set of all numbers of the form d(p,q), with p∈E and q∈E.
d(p,q):平面上の2点間の普通の距離函数

回答No.1

R_Earl

> さて，（２）の不等式ですが，eを足して不等号の向きを逆にしておきなが

何にeを足したのでしょうか？
eを足す前はどのような不等式なのでしょうか？

補足

前の不等式ってのはなくて，
いきなり
距離空間の定義の三角不等式？です。