無限組合せとは？実用性や関連分野について考えてみる
- 無限順列に対して無限組合せを考えると、幾何学的には空間を、解析的には数列を表現することができます。
- 組合せ論的には3つの要素を無限個並べた順列を表し、統計学的には無限個並べた3種類の数字の度数分布を考えることができます。
- 無限組合せには実用性があり、例えばピタゴラス数や実数の3進法表示などに関連することがあります。また、他の数学の分野とも関連があります。
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無限順列に対して無限組合せを考えると
Aを要素が3つの有限集合{x,y,z}とします。Nを自然数の集合{1,2,3,4,…}とします。 写像：A→Nを考えます。 これは幾何学的には空間N^3を表しています。 また、解析的には、項数が3の自然数の数列を表してます。 例えばピタゴラス数(x^2+y^2=z^2を満たす自然数x,y,z)を考えるといった実用性があります。 以上のことを、組合せで考えます。 例えばピタゴラス数では、x^2+y^2=z^2を満たす自然数x,y,zに、同じ組合せを同一視したり、x＜y＜z、もしくは、x≦y≦zといった制限を与えることになります。 これはごく普通の考えと思います。 次に、Nを自然数の集合{1,2,3,4,…}とします。Aを要素が3つの有限集合{0,1,2}とします。 写像：N→Aを考えます。 これは組合せ論的には、3つの要素を無限個並べた順列を表しています。 また、解析的には、各項が0，1，2の無限数列を表してます。 例えば0≦x≦1の実数xの3進法表示(ただし、0.210222…=0.211000…といったような同一視をする)を考えるといった実用性があります。 以上のことを、(重複)組合せで考えてみると、3種類の数字の数列に対して、イレカエをしても同じになる並べ方を同一視することになります。 統計学的には、無限個並べた3種類の数字の度数分布を考えることになります。 絵描きが無限の溝があるパレットに、3種類の絵の具からひとつずつ選び、一定量を出して並べていった後、かき混ぜたときの色を考えることになります。 これもまあ普通の考えと思うのですが、いわゆる「無限組合せ」は聞いたことありません。 なにか実用性はあるのでしょうか。数学の他の分野と関連はあるのでしょうか。 実数(√2)-1の3進法表示で、無限桁の数字0、1、2の「割合」はそれぞれ1/3、1/3、1/3なのでしょうか？ 3種類の数字のなんらかの数列(無限順列)に対して、「無限組合せ」を考えたときに、何か面白いことはあるのでしょうか。
- dfhsds
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>実数(√2)-1の3進法表示で、無限桁の数字0、1、2の「割合」はそれぞれ1/3、1/3、1/3なのでしょうか？ この点についてだけ回答します。 そういった性質（「相対度数」の極限が一様分布する）をすべてのn≧2でのn進展開について満たす実数は正規数と呼ばれます。 正規でない実数の集合はルベーグ測度0であることは知られています。 (√2)-1が正規かどうかは私は知りません。 確率論的独立性や大数の法則と関係します。 Marc Kac, "Statstical Independence in Probability, Analysis and Number Theory," 1959 は参考になります。最近和訳も出ました。
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- hrsmmhr
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フラクタルは 一種の あなたの言うところの無限組み合わせ？と思ったりします 詳しくはないのでうまくは説明できませんが…
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