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式と証明の問題です。

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x>0、y>0、x+y=1のとき、不等式(1+1/x)1+1/y)≧9が成り立つことを示せ、また、等号が成り立つのはどのような場合か。という問題を詳しく教えてください。解説をなくしてしまった問題で、ここはこうなるからこのようになる……。みたいな感じで丁寧に教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答 (全3件)

  • 回答No.3

ベストアンサー率 67% (2650/3922)

>不等式(1+1/x)1+1/y)≧9

不等式(1+(1/x))(1+(1/y))≧9
の間違いでは

もしそうなら
(1+(1/x))(1+(1/y))
=(x+1)(y+1)/(xy)
=(xy+(x+y)+1)/(xy)
=(xy+1+1)/(xy)
=1+(2/(xy))

ここで
x>0,y>0なので相加平均相乗平均の関係から
1=x+y≧2√xy (等号はx=y=1/2の時成立)
(1/2)≧√(xy)
1/4≧xy>0
であるから
4≦1/(xy)

従って
(1+(1/x))(1+(1/y))≧1+8=9
等号は x=y=1/2のとき成立。
Be MORE 7・12 OK-チップでイイコトはじまる
  • 回答No.2

ベストアンサー率 23% (56/237)

(1+1/x)(1+1/y)≧9
1+1/x+1/y+1/xy≧9
2/xy≧8
4xy≦1
  • 回答No.1

ベストアンサー率 54% (1630/2966)

不等式がなんか変ではないですか?それはともかく、
y=1-xを不等式の左辺に代入し、0<x<1の範囲で左辺がどういう値をとるか考えればいいと思います。

xの範囲が上記のようになるのは、
0<y=1-x だからです。
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