行列の対角化の説明でよくわからない点が

質問

■(1)
(a11 a12 a13)(p11 p12 p13) (p11 p12 p13)(λ1 0 0)
(a21 a22 a23)(p21 p22 p23) = (p21 p22 p23)( 0 λ2 0)
(a31 a32 a33)(p31 p32 p33) (p31 p32 p33)( 0 0 λ3)

(λ1p11 λ2p12 λ3p13)
= (λ1p21 λ2p22 λ3p23)
(λ1p31 λ2p32 λ3p33)

ここまでは理解しました。
■(2)
Apj = λjpj;
(a11 a12 a13)(p1j) 　　　(p1j)
(a21 a22 a23)(p2j) = λj(p2j) (j=1,2,3)
(a31 a32 a33)(p3j)　　 (p3j)

これが理解できません。なんでjを使うんですか？
まあなんとなく最初の式■(1)を表jを使ってしているとして

■(3)
Ap = λp;
{a11p1 + a12p2 + a13p3 = λp1
{a21p1 + a22p2 + a23p3 = λp2
{a31p1 + a32p2 + a33p3 = λp3

これは■(2)を計算(展開)してるだけですよね？

■(4)
(A - λE)x = 0;
{(a11 - λ)x + a12y + a13z = 0
{ a21x + (a22 - λ)y + a23z = 0
{ a31x + a32y + (a33 - λ)z = 0

これは■(3)の式でp1,p2,p3をx,y,zに置き換えて右辺を左辺に移行して括ったものですよね？
なんで単位行列Eが出てくるんですか？

なんかモヤモヤしてしっくりきません。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

(2)は、(1)を列ごとに分けて書いただけです。
(2)に、P が正則な、すなわち
pj が一次独立な解が在るということは、
(3)に、p が独立な3組の解が在るということです。
(3)は、(1)の各列を一つに重ねて書いた
とでも言えばいいかな。
(3)の右辺を左辺へ以項したときに、
x = Ex を使って x を括り出すと
(4)の式になります。
E は、そのためのギミックです。
(A-λ)x = 0 とは、できませんからね。
斯くして、
(1)に、P が正則な解が在ることが、
(4)に、x が一次独立な3組の解が在ることに
変形されます。

お礼

ありがとうございました。
λは係数なので括れないということですか？

回答No.3

arrysthmia

λ はスカラー(1×1の行列)ですから、
サイズの違う A とは引き算できない
ということです。
λE なら、できますね。

お礼

補足に答えていただき
ありがとうございました。なっとくしました

回答No.2

arrysthmia

λ はスカラー(1×1の行列)ですから、
サイズの違う A とは引き算できない
ということです。
λE なら、できますね。