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全微分の式
kfnorisuの回答
＞[F(X+a, Y+b)-F(X,Y)]/(h+k)^2 ＞分子が√(h+k)^2 この場合、分母じゃないですかね？平均変化率のお話でしたら 「平均変化率」 = 「着目している量の変化」÷「着目している量に関連するものの変化」 という形（語弊があるかもしれませんが）です。関数f(x,y)に対して点(a,b)から(c,d)の「着目している量の変化」は 「着目している量の変化」=f(c,d)-f(a,b) となります。ところが「着目している量に関連するものの変化」の表現は少し考えなければなりません。というのも 「平均変化率」、「着目している量の変化」、「着目している量に関連するものの変化」は（この場合）ともに実数でなければなりません。ところが、着目している量に関連する量は実数ではありません。ベクトルとして記述すれば(x,y)や(a,b)(c,d)です。つまり ｛f(c,d)-f(a,b)｝÷{(c,d)-(a,b)｝ という演算は平均変化率の計算では想定外のものになってします。このため(a,b)から(c,d)への変化量を距離で表します。距離は集合によって固有に定められるわけではなく、自分で定めても構いませんが、通常微分などを考える場合には √{(c-a)^2+(d-b)^2} という距離を用います。このような距離は「ユークリッド距離」と呼ばれます。距離を用いれば「平均変化率」は ｛f(c,d)-f(a,b)｝÷√{(c-a)^2+(d-b)^2} として計算できます。 すなわち平均変化率の分母が√h^2+k^2とする理由は、(x,y)から(x+h,y+k)の変化を実数で表すためです。ただ、おそらく表現方法に関しては事前に教科書で整理がされていると思われます。
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