中学受験のことの問いがとけない

質問

正三角形ＡＢＣがあります。ＡＢ上にＤ、ＢＣ上にＥ、ＣＡ上にＦをとります。ＤＦで折り返して頂点Ａを
Ｅに重ねます。このときＢＥ：ＥＣ＝１：４のとき、ＡＤ：ＤＢの比をもとめろという問です。

これ出すことはできるのですが、小学生ならどうとくかです。どうしても２次方程式が出てきて小学生では処理できません。
三角形ＤＢＥと三角形ＦＣＥが相似なので一生懸命にやったのですが、どうしてもうまいとき方がでません。

小学生でどうやってだしますか？

回答No.3

WAN-

いろいろな解法があると思いますが、
こんな方法はいかがでしょうか。

まず、最初の正三角形の一辺の長さを (5)とします。
こうすると BE＝(1)、EC＝(4)となります。　　（A）

DFで折り返していることより、
AF＝EF
AD＝ED
従って、AF+FC＝EF+FC＝(5) ・・・・　（あ）
　　　　AD+DB＝ED+DB＝(5) ・・・・　（い）

△DBEの三辺の長さの和は（A)と（い）より　(5)＋(1) ＝(6)・・・（う）
△ECFの三辺の長さの和は（A)と（あ）より　(5)＋(4) ＝(9)・・・（え）

△DBE∽△ECFですので、（う）、（え）より
この２つの三角形の相似比は 6:9 ＝ 2:3 になります。
よって 対応する辺の長さの比も 2:3なので　　DB：EC ＝ 2：3
(A）の通り EC＝(4)なので　DB＝(8/3)
これと AB＝(5)　より AD＝(7/3)

よって AD：DB＝(7/3）：（8/3)　＝ 7 : 8　　//

回答No.2

nag0720

＃１です。間違いがありました。

三角形の１辺の長さを５と仮定すると、ΔＤＢＥ∽ΔＦＣＥ　から
４：ＣＦ＝ＤＢ：１
ＣＦ：ＦＥ＝１：ＥＤ
ΔＡＤＦ≡ΔＥＤＦ　から
ＢＤ＋ＤＥ＝ＢＤ＋ＤＡ＝５
ＣＦ＋ＦＥ＝ＣＦ＋ＦＡ＝５
・・・・・・・

三角形の１辺の長さを５と仮定しておかないと、
４：ＣＦ＝ＤＢ：１
ＣＦ：ＦＥ＝１：ＥＤ
が成り立ちませんでした。

回答No.1

nag0720

ΔＤＢＥ∽ΔＦＣＥ　から
４：ＣＦ＝ＤＢ：１
ＣＦ：ＦＥ＝１：ＥＤ
三角形の１辺の長さを５と仮定すると、ΔＡＤＦ≡ΔＥＤＦ　から
ＢＤ＋ＤＥ＝ＢＤ＋ＤＡ＝５
ＣＦ＋ＦＥ＝ＣＦ＋ＦＡ＝５

これらから、
ＣＦ：（５－ＣＦ）＝１：（５－ＢＤ）
したがって、
５－ＣＦ＝ＣＦ×（５－ＢＤ）＝５×ＣＦ－ＣＦ×ＢＤ＝５×ＣＦ－４
これから、ＣＦ（=3/2）が求まります。
ＣＦが分かれば、ＤＢ（=8/3）が分かり、ＡＤ（=7/3）も分かります。

（∽は相似、≡は合同の意味です）

小学生でどこまで使っていいのか分かりませんが、こんな方法でどうでしょうか。