高校1年 数学

質問

直角三角形ABCの斜辺AB上に点Dをとり、BCとCAに垂線DEとDFを引く。
BC=48,CA=6,DE=xとして、次の各問いに答えよ。
(1)xの取り得る値の範囲を求めよ。
(2)△ADFと△DBEの面積の合計をSとする。Sをxを用いて表せ。
(3)(2)のとき、Sの最小値とそのときのxの値を求めよ。

途中式⁇も詳しく教えてくださると嬉しいです！
多いですが、よろしくおねがいします。。

回答No.2

deshabari-haijo

ANo.1の別解です。

(3)
直角三角形ABC∽直角三角形ADF∽直角三角形DBEであり、相似比はAC：AF：DE=6：(6-x)：xであるから、面積比は36：(6-x)^2：x^2
直角三角形ABCの面積は48×6÷2=144であるから、直角三角形ADFの面積は(6-x)^2×144/36=4(6-x)^2、直角三角形DBEの面積はx^2×144/36=4x^2
よって、S=4(6-x)^2+4x^2
なお、これは(2)の答えですが、ここでは敢えて展開はしません。

この式において、(6-x)とxを入れ替えてもSの値は等しくなるので、x=6-x=3のとき最小になるのではないかと予想できます。
Sが最小になるためには、EC×DEが最大になればよく、ANo.1からEC×DE=(48-8x)x
ここで、x=3+yとおくと、EC×DE=(48-8x)x={48-8(3+y)}(3+y)=(24-8y)(3+y)=-8y^2+72
よって、EC×DEはy=0つまりx=3のとき最大値72になるので、Sの最小値は144-72=72でそのときのxの値は3

回答No.1

deshabari-haijo

(1)
0＜x＜6

(2)
直角三角形ABC∽直角三角形DBEであるから、BE=ED×BC/CA=x×48/6=8x
よって、EC=BC-BE=48-8x
S=BC×CA÷2-EC×DE=48×6÷2-(48-8x)x=8x^2-48x+144

(3)
S
=8x^2-48x+144
=8(x^2-6x)+144
=8{(x-3)^2-9}+144
=8(x-3)^2+72
よって、x=3のとき最小値72