三角形の内部の一点から、3辺に落とした垂線の和

質問

三角形の3辺の長さをそれぞれa、b、cとする。
この三角形の内部の一点から、3辺に下ろした垂線の長さをそれぞれx、y、zとするとき、xyzの最大値を求めよ。

という問題があります。
解答を見ると、
ax+by+cz=k（一定）
という等式から解答が始まっているのですが、これはどのようにして導き出されたのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#93649 · ベストアンサー

> 三角形の内部の一点

ヒント。３つの小さな三角形を考える。
・面積の合計は一定。
・底辺３つの合計も一定。

> ax+by+cz=k

というよりも
(1/2)ax + (1/2)by + (1/2)cz = 一定
ってことで。

お礼

何か公式から導出したものと勝手に思い込んでいましたが、面積とは盲点でした。
ありがとうございました。

回答No.4

mister_moonlight

＞これが一定値であると言う事は、△ＡＢＣの面積が一定という条件になってるんだろう。

a、b、c　が定数として与えられてるんではないか？　定数とは、問題文に書いてないんだが。

お礼

三辺の長さがそれぞれ定数として与えられているので、面積も定数として一意に決まるということですね。
ありがとうございました。

回答No.3

info22

内部の点と各頂点を結ぶと3個の三角形に分割されますね。
各三角形の面積は、底辺*高さ/2の公式から
S1=ax/2
S2=by/2
S3=cz/2
になります。
全体の三角形の面積Sは
S=S1+S2+S3=(ax+by+cz)/2
つまり
ax+by+cz=2S=k(一定)
というわけです。
この関係は三角形内部の点の位置に関係なく成立します。

お分かり？

お礼

とても丁寧にありがとうございます。
面積の関係式だったとはおどろきです。

回答No.2

mister_moonlight

＞ax+by+cz=k（一定）という等式から解答が始まっているのですが

これが一定値であると言う事は、△ＡＢＣの面積が一定という条件になってるんだろう。
問題文には書いてないが。。。。。。？

内部の点をＰとすると、△ＡＢＣ＝△ＰＢＣ＋△ＰＣＡ＋△ＰＡＢだから、2△ＡＢＣの面積＝ax＋by＋cz＝k（一定）。
文字は全て正から、相加平均・相乗平均より、ax＋by＋cz≧3（3）√（abcxyz）→　k　≧3（3）√（abcxyz）→　両辺を3乗して→　xyz≦（k）＾3/（27abc）。等号は　ax＝by＝cz＝k/3.

お礼

三辺の長さが定まったいるので、結局は面積が決まっているということですね。
ありがとうございました。