偏微分の基本

質問

いつもお世話になっております。
今回は馬鹿らしい質問です。

直交座標と極座標との関係において
∂r/∂x
を求めます。
これはr=√(x^2+y^2)から
cos（θ）となりますよね。

ところでx=r*Cos(θ)
をrについて解いてやると1/cos(θ)となりますが、
これは変数の対応関係を無視しているので駄目ですよね。
他に、
x=r*Cos(θ)において∂x/∂r=Cos(θ)
としてから逆関数を求めてみるとこれも1/cos（θ）
となります。

情けないですが、人にどこが間違っているのか説明できません。
すごいもやもやしているのでどなたか教えていただけないでしょうか。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

r = x/cosθ = f(x,θ)
とおくと、rだけではなくて、θもxの関数です。
なんで、
∂r/∂x = ∂f/∂x + ∂f/∂θ×∂θ/∂x
= 1/cosθ -x・tanθ/cosθ・(-sinθ/r)
= cosθ
です。

ちなみに、偏微分の場合には、
∂x/∂r = 1/(∂r/∂x)
は（一般には）成り立ちません。

お礼

なるほど、よく考えたらそうでした。
すっきりしました。
ありがとうございます。

回答No.2

arrysthmia

偏微分では、どの変数で微分したのか？ もさながら、
どの変数を固定して微分したのか？ が重要です。

r を、x と θ の２変数関数と見て
θ を固定して x について微分するならば、
∂r/∂x[θを固定] = ∂/∂x[θを固定] (x/cosθ) = 1/cosθ
で正解です。

∂/∂x に「y を固定して微分」という意味を持たせたいなら、
y = r sinθ という関係式により、θ は x に従属しますから、
∂r/∂x[yを固定]
= (∂r/∂x[θを固定])(∂x/∂x[yを固定]) + (∂r/∂θ[xを固定])(∂θ/∂x[yを固定])
= (∂r/∂x[θを固定]) + (∂r/∂θ[xを固定])(∂θ/∂x[yを固定])
となります。

∂r/∂x[θを固定] と ∂r/∂θ[xを固定] は、r = x/cosθ から、
∂θ/∂x[yを固定] は、y = r sinθ から、求めることができます。

∂θ/∂x[yを固定] = 0、
∂/∂x[yを固定] (r sinθ) = (∂r/∂x[yを固定])(sinθ) + r(cosθ)(∂θ/∂x[yを固定])
より、
∂θ/∂x[yを固定] = (-1/r)(tanθ)(∂r/∂x[yを固定])
です。
これを、上の式へ代入して…

お礼

う～ん、場合によって指示の意味が変わるということですね。
ありがとうございました。