C∞級とは何ですか？

質問

複素関数論で出てくるC∞級とは、無限回微分可能である関数
というように定義されると思うのですが、
そのような関数で思い当たりがあるのはsin, cos , expくらいなのですが、
他にC∞級の関数は存在するのでしょうか？

回答No.7

arrysthmia · ベストアンサー

＞ x^nや、1/xも同様にx=0で傾きが発散してしまうと思うのですが

x^n (n は自然数) の n 階導関数は、定数関数です。
発散しませんよ？

f(x) = 1/x は、f(0) で定義されていませんし、
{ |x|^(4+1/3) } / x のように f(0) の値を追加して x=0 で連続に
拡張することもできません。
よって、lim[h→0] { f(0+h) - f(0) } / h の収束性以前に、
{ f(0+h) - f(0) } / h が考えられないのです。

No.1 の人が 1/x を C^∞ 級と言っているのは、
1/x は x≠0 で定義された関数であり、その全域で C^∞ 級
という意味です。(たぶん)

No.2 で話題にしているのは、実数全域で C^n 級か
ということです。(No.4 も参照)

回答No.6

arrysthmia

再度解説多謝。

でも、{ |x|^(4+1/3) } / x の説明は、ちょっと違います。
３回微分すると、(|x| / x) |x|^(1/3) みたいな形になります。
これは、x^3 の逆関数です。
x = 0 は、尖っておらず、傾きが +∞ に発散しています。

御指摘の通り、No.2 の例は、
連続かつ微分不能な関数を、積分して見つけました。

お礼

何度もすいませんが、やはりよく分からなくなりました。

(|x| / x) |x|^(1/3) がx=0で微分不能なのはx=0で傾きが +∞ に発散しているからである、ということなのですが、
x^nや、1/xもx=0で同様にx=0で傾きが発散してしまうと思うのですが（前者はn回微分することで）、
なぜこれらはC∞級になるのでしょうか？
どういうことなのでしょうか？

回答No.5

PRFRD

No.3 のコメントについて

> No2さんの例で{ |x|^(4+1/3) } / x はなぜC3級になるというのですか？

大雑把に言うと，３回くらい微分すると f'''(x) ～ |x|^(1/3) みたいになり，
この関数は原点でとがっている関数なので，微分不能で C^4 になりません．
（厳密には No.3 で述べたように確認する必要があります）

ちなみに { |x|^(4+1/3) } / x = { |x|^(3+1/3) } は間違ってます．
左辺は正負両方取るのに右辺は正しか取りませんよね．

> 式を見てC何級であるかということはどこを見れば分かることなのでしょうか？

ぱっと見て分かるものではありません．

いろんな関数の例を知り（x sin(1/x) や |x|^(1/3) が連続だけど微分不能だとか），
それの類推でいろんな関数について自分で確認することで，
なんとなくそうかな，という感覚がつかめるようになります．
ただ，最終的には No.3 でやったような確認をその都度やる必要があります．

一応，C^n 級関数の和・積・合成が（適切な領域で）C^n 級であることが
微分の定義から分かるのでこれを使うとある程度確認が簡単になります．
（例えば 　x^3 sin(1/x) が原点以外で C^∞ なのは x^3 と sin(x) が全域で C^∞,
　1/x が原点以外で C^∞ であることから直ちに出ます．）

回答No.4

arrysthmia

No.3 さん、解説多謝。
No.2 は、説明が足りなかったようです。

あの二つの例は、1/x とは異なり、
x→0 の極限が収束します。
その極限を x=0 での値として
定義域の穴を埋めれば、
x=0 において C~3 級になっているのです。

x≠0 で C~∞ 級なのは、
自明ですけど。

回答No.3

PRFRD

No.2 のコメントについて．No.2 さんの例を少し変えて
f(x) = x^3 sin(1/x) 　(x ≠ 0)
　　 = 0　　(x = 0)
という関数のなめらかさを確認してみましょう．
（簡単のため x のベキを3に下げて，f(0)の値をちゃんと書いた）
原点以外の連続性・微分可能性は明らかなので，
原点でだけ確認していきます．

まず C^0 級（連続）を確認します．これは
　|f(x) - f(0)| = |x^3 sin(1/x)| ≦ |x^3|
なので x → 0 とすると f(x) → f(0) となるので分かります．

次に C^1 級（微分が存在して連続）を確認します．
まず，原点で微分可能です．実際
　|(f(x) - f(0))/x| = |x^2 sin(1/x)| ≦ |x|
なので x → 0 での値が存在して f'(0) = 0 となります．
次に，f'(x) は原点で連続です．実際
　f'(x) = 3 x^2 sin(1/x) - x cos(1/x)　(x ≠ 0)
なので，
　|f'(x) - f'(0)| = |3 x^2 sin(1/x) - x cos(1/x)|
　　 　　　　　　≦ 3 |x^2| + |x|
なので x → 0 とすると f'(x) → f'(0) となります．

最後に C^2 級（導関数に微分が存在して連続）でないことを確認します．
実際，f' が原点で微分できないのですが，これは
　|(f'(x) - f'(0))/x| = |3 x^2 sin(1/x) - cos(1/x)|
としたとき，右辺が cos(1/x) のおかげで収束しないためです．

お礼

ありがとうございます。

後二つだけ質問させて下さい。

No2さんの例で{ |x|^(4+1/3) } / x はなぜC3級になるというのですか？

{ |x|^(4+1/3) } / x = { |x|^(3+1/3) }
でx^2と同じくxの全域において何回でも微分出来ると思うのですが・・・

それと、No2さんは２つも例を挙げて下さいましたが、式を見てC何級であるかということはどこを見れば分かることなのでしょうか？
特にC∞級であるかということの見分け方或いは法則があれば教えて下さい。

よろしくお願い致します。

回答No.2

arrysthmia

定数関数は、ゼロだろうと、他の値だろうと、微分可能でしょう？
導関数の定義に戻って、確認してみるとよいです。

C^3 級には、{ |x|^(4+1/3) } / x とか、(x^4) sin(1/x) とか、
ありますね。

1/x のような、「定義域では」C^∞ 級なモノも含めるのなら、
定義域を一点の近傍に制限してしまうことも、考えたらどうでしょう？

適当な数列 a_n を持ってきて、級数 Σ[n=0→∞] (a_n)(x - c)^n を作ると、
この級数は、収束半径が 0 で無い限り、x = c のとある近傍において
C^∞ です。

級数の例を見ると、C^∞ が相当たくさん在る…という手応えが
感じられると思います。

お礼

回答ありがとうございます。

でも、{ |x|^(4+1/3) } / x とか、(x^4) sin(1/x) が
C^3 級である理由がありません。
定数関数が微分可能であると認めるなら
どちらもx^nと同じで何回でも微分出来るように思うのですが、
どういうことでしょうか？

回答No.1

proto

x^nも、1/xも、定数関数も無限回微分可能です。

お礼

ありがとうございます。

1/xは確かにそうだと思うのですが、
x^nや定数関数は違うのではないでしょうか？
例えばx^nを微分していくと最後には定数関数になります。
定数関数の微分はゼロになります。
ゼロの微分はゼロになりますが、これは微分としていいということなのですか？

とするとC3級とか有限回の微分しか出来ない関数って一体何のことなのでしょうか？