C1級について

質問

今大学で複素関数を勉強しているのですが、いまいち
C1級やらC2級の考え方がわかりません。
u = -x^3 + 3xy^2 が　C1級で
u = -x^2 + 2xy + y^2　がC2級となっているのですが
違いがよくわかりません。

偏微分ができる回数とそれらが連続かどうかみたいなことが
書いてあるんですがよくわからないのでお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

＞u = -x^3 + 3xy^2 が　C1級で
＞u = -x^2 + 2xy + y^2　がC2級となっているのですが

両方ともC^1だし，C^2だし，C^3だし・・・C^∞だし，C^ωです．
多項式はすべてCωです．
＃C^∞は何回でも微分できて，導関数はずっと連続
＃C^ωは冪級数展開可能
単に，何階までの（偏）導関数が連続であるかどうかを
表記しているだけです．したがって
C^2であればC^1だし，C^3であればC^2でもあります．

こういうのは逆に，
導関数が連続でなくなるような例を考えれば理解しやすいのと，
いきなり多変数ではなく，一変数で考えることです．
例：y=|x|^3
y'=-3x^2 (x<0), 3x^2 (x>0) これは連続
y''=-6x (x<0), 6x (x>0) これは連続
しかし，y'''は原点で定義されないので，y'''は連続ではない
したがって，y=|x|^3 はC^2だがC^3ではない．

お礼

ありがとうございます！
とても解りやすく助かりました＾＾