誤差を含む数字同士を掛け算した時の誤差

質問

誤差を含む数値を足し算した時の誤差については、ここで「集積誤差」とか「累積誤差」とかをを調べて理解したのですが、掛け算の場合はどう考えたら宜しいのでしょうか？

例えば、ある液体を「ａ±ｈ 倍」に希釈したサンプルの濃度を測定したら「ｂ±ｉ g/L」であった。原液の全量が「ｃ±ｊ L」あるとき、全体に含まれている物質の量を「ｄ±ｋ g」と表わすと、当然 ｄ＝ａ×ｂ×ｃ ですが、誤差の部分 ±ｋ を計算するには、どうしたら良いでしょうか？

なお、このカテゴリーへは初めての書き込みです。不備がありましたら御指摘下さい。

回答No.3

tir70 · ベストアンサー

一般的には，error propagationから推測します．
誤差を含む観測量a±h, b±i, c±jから関数f(a, b, c)を通して得られた値の誤差kは，

k^2 = (∂f/∂a)^2×h^2 + (∂f/∂b)^2×i^2 + (∂f/∂c)^2×j^2

と計算されます．ただし，観測量a, b, cの誤差の相互相関は無いとします（ある場合は，相互相関の項も加えます）．誤差論の本をご覧ください．
a×b×cのような簡単な計算値の誤差であれば，上のように計算した場合と，ガウシアン分布を示す乱数で誤差を含むa, b, cの値を発生させて得た誤差の値は概ね合致すると思います．

お礼

御回答ありがとうございます。
数学をちゃんと勉強していない私にとっては、
(∂f/∂a)^2×h^2
とかいうのが、いまいちピンとこないのですが、
自力で勉強してみます。
ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

いや, 「そうだろうなぁ」と思って「相対誤差」というヒントも出したつもりだったんですが....
つまり, それぞれを
a(1 ± h), b(1 ± i), c(1 ± j) としたときに, 積は
abc[(1±h)(1±i)(1±j)]
となるんだけど, h, i, j 相互の積は小さいので無視できるとすれば
abc[1±(h+i+j)]
と簡単にできるね, と.
ああ, これで「二乗和平方根で評価できるか」というと微妙ですが.

お礼

具体的な御教示をありがとうございます。
「相対誤差」のヒントでは分かりませんでした。

回答No.1

Tacosan

その h とか i とか j が分かっているなら, d の最大・最小はすぐに分かりますよね. もちろん ± では書けませんが, それはしょうがない.
まあ, どうせ近似を含むのだから「相対誤差」を考えた方が簡単ですが.

お礼

早速の御回答をありがとうございます。

質問の仕方が悪かったようです。私が知りたかったのは、足し算の場合の誤差範囲（±）を二乗和平方根で表せるような、統計的な考え方があるか、お尋ねしたかったのです。

±ｈ、±ｉ、±ｊの誤差を持つ数値を掛け合わせるときに、３つとも＋側の範囲一杯に外れる確率は極めて低いので、それは無視するというような考え方で扱えないのかと思いまして。

引き続きの御教示をお願い致します。