微積。ロールの定理？

質問

「xの二乗」→「x~2」

『方程式(e~x)sinx=xの任意の異なる２解x1,x2に対し、方程式(e~x)cosx=1-xの解x0でx1<x0<x2を満たすものが存在することを示せ。』

変形して関数をf(x)なりなんなりとして定義してロールの定理かな？とは思ったんですが、うまく解答が作れません。

提出期限が近いのでどなたか解説と解答を作って頂けないでしょうか？？
おねがいします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

#1の補足について

>h(x)=e^(-x)f(x)でe^(-x)≠0よりx1,x2はh(x)=0の解でもある。
この行のe^(-x)≠0は必要ないですね。
それとロルの定理を適用する前にh(x)がx1<x<x2で微分可能だと言及しておいたほうがよい。

あと、h(x)の関数形をどのように発見したのかというと、一応質問のところにロルの定理があげられていたのでとりあえずf(x)を微分してみました。
すると、
f'(x)=g(x)+f(x)
となります。(ここら辺は自分で確認してください。)
つまり、g(x)=f'(x)-f(x) となります。
この右辺を()'の形に変形しようとするとe^(-x)をかけることでf(x)の前にマイナスをつけることができることに気づきました。まあ、ここら辺は勘としかいいようがありません。

お礼

rnakamraさん。
助かりました。ありがとうございます。
確かにロルの定理を適用する前にh(x)がx1<x<x2で微分可能とかくべきでしょうね。
ありがとうございました

回答No.1

rnakamra

ヒントだけ。

f(x)=(e^x)sinx-x,g(x)=(e^x)cosx+x-1 と置く。
h(x)=(e^(-x))f(x)とおき、h'(x)を求める。うまく変形するとg(x)を使って表すことができる。
それからh(x)についてロルの定理を適用してみる。

補足

rnakamraさんのヒントを参考にしたところ、解答らしきものができました。
「～前略
h'(x)=e^(-x)g(x)と表せられる。
h(x)=e^(-x)f(x)でe^(-x)≠0よりx1,x2はh(x)=0の解でもある。
h(x1)=h(x2)=0が成り立ち、
ロールの定理からx1<c<x2で、h'(c)=0を満たすcが存在する。
h'(c)=0よりe^(-c)g(c)=0
e^(-x)≠0からg(c)=0となりcはg(x)=0の解。つまりc=x0
以上より題意は満たされた。」まずい所などあれば添削お願いします。
同時に質問なのですが、どうしてh(x)=(e^(-x))f(x)とおこうなどということをおもいついたんですか？そうそう思いつけないと思うんですが…