複素積分についての質問
- 複素積分に関する質問です。具体的には、対称な積分路と円積分路を考えており、留数を求めた後に積分を行いたいとのことです。
- 質問者は積分路C1とC2を合わせてCとし、関数f(z)=exp(jz)/(1+Z^2)についての積分を行いたいと述べています。
- そして、質問者はC2上の積分を求めることでC1を求め、その範囲を-RからRにするためにlimで飛ばすことを検討しています。しかし、質問者は分子が|jRexp(jθ)|になる理由について疑問を持っています。
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助けてください >_< ★☆複素積分☆★
添付した画像が問題ですが、解説でつまってます。。 実軸上に原点対称で-Rから+RまでのC1積分路と上半分の円C2積分路を考えます。この二つの積分路をあわせてCとします。 f=exp(jz)/(1+Z^2)とまずおいて、留数をもとめ、fのC上での積分をしました。 あとは、C2積分路上の積分を求めてしまえば、C=C1+C2なのでC1が求まり、-RからRという範囲を問題とおり－∞から∞にlimで飛ばしてやればいいんだということはわかりました。 回答ではC２積分の絶対値を求めてます。（画像参照） ここで、左から二つ目の項（赤枠のとこ）においての分子が|jRexp(jθ)|になる理由がわからないのです! |exp(jz)| = |expj(x+jy)| = exp(-y) ≦1を使うみたいですが・・ ちなみにz=Rexp(jθ)と置いてます。 長く書きましたが、わからないのは分子がこうなる理由だけです。よろしくお願いします。
- tt00ea
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二つ目の項の前段階で |exp(jz)||dz| という項を考えればいいんじゃないでしょうか。 C2上ではz=Rexp(jθ)なので|dz|＝|jRexp(jθ)dθ| 経路が反時計回りなのでdθ≧0 → |dz|＝|jRexp(jθ)|dθ 質問者さんの書いた|exp(jz)|≦1を使えば |exp(jz)||dz|＝|exp(jz)||jRexp(jθ)|dθ≦|jRexp(jθ)|dθ になります。 分子の|jRexp(jθ)|の起源はexp(jz)じゃなくてdzからですね。
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