大学入試数学で分からない問題があるので教えてください。

質問

hx＝ 2x三乗 － x二乗 ＋ 3x ＋ 2
fx＝ 2x二乗 － 3x － 2

x＜2のとき
hx ÷ fx の取り得る範囲を求めよ。

という問題です。

数学の得意な方、教えてください。

回答No.2

mister_moonlight

こんな程度で微分を持ち出すのでは能がないし、つまらない。
何のための、“x＜2”という条件なのか、考えたら良い。

2x+1≠0として、Ｐ＝（x＾2-x＋2）/（x-2）。‥‥(1)　ここで、t＝2-xとすると、t＞0.
従って、Ｐ＝-（t＾2-3t＋4）/（t）であるから、-Ｐ＝t＋4/t-3　→3-Ｐ＝t＋4/t　となる。‥‥(2)
t＞0より、相加平均・相乗平均を使うと、t＋4/t≧4　‥‥(3)　等号は、t＝2.　→　x＝0
よって、(2)と(3)より　3-Ｐ≧4　→　Ｐ≦-1.　等号は、x＝0　の時。

そして、2x+1＝0の時は？

回答No.1

proto

h(x) = 2x^3 -x^2 +3x +2
　　f(x) = 2x^2 -3x -2

h(x)÷f(x)を計算すると、x+1余り8x+4より
　　h(x) = (x+1)*f(x) +8x+4
　　h(x)/f(x) = (x+1) +(8x+4)/(2x^2-3x-2)
　　　　　　　= (x+1) +4(2x+1)/((2x+1)(x-2))
(2x+1)を約分して
　　h(x)/f(x) = (x+1) +4/(x-2)

結局、今回は(x+1) +4/(x-2)の取り得る範囲を求めればよいことになる。
これくらいなら増減表を書くことで簡単に求まるだろう。
但し、2x+1≠0すなわちx≠-1/2という条件を忘れてはいけない。