3行３列行列のｎ乗について。

質問

同じ質問がほかにもあったらごめんなさい。
一応調べても出てこなかったので、質問してみようと思いました。
ご解答のほどよろしくおねがいします。

行列、
１、１、０、
０、２、０、
１、１、１、

のｎ乗を求めたいと思っていますが、
高校で習った知識をフル活用して固有値固有ベクトルでといてみようと思ったのですがうまくいきませんでした。。

できれば、
(1)固有値固有ベクトルではどうしていけないのか。
(2)どうやってとけばいいのか。

の２つを解答してもらえるとありがたいです。
よろしくおねがいします。

回答No.1

gef00675

高校の知識では無理でしょう。

(1)固有値固有ベクトルではどうしていけないのか。
その行列をＡとかくことにすると、Ａの固有方程式は
(x-2)(x-1)^2=0
で、Ａの固有値は1と2になるのですが、重解のx=1が曲者です。x=1に対応する固有ベクトルで独立なものが２個あればよかったのですが、このＡに関しては、x=1に対応する固有ベクトルが１本しかとれない。そのため、Ａが対角化できないのです。

(2)どうやってとけばいいのか。
一般固有ベクトルというものを考えれば、解けます。しかし、最初から話し出すと結構長くなりますし、簡単に説明する自信がありません。詳しくは線形代数の教科書でも読んでください。

とりあえず、射影行列を使って解を表示しておきますので、答えあわせにでも使ってください。計算してみると、
行列P1＝
1, -1, 0
0, 0, 0
0, -2, 1
行列P2＝
0, 1, 0
0, 1, 0
0, 2, 0
が、Ａの一般固有空間への射影行列になっていました。射影の性質から、P1^2=P1, P2^2=P2, P1P2=0, P1+P2=単位行列　が成り立ちます。
Ａの固有値をλ1, λ2とかくと、（λ1=1, λ2=2）
Ａ= λ1 P1 + λ2 P2 + N
と分解できることが知られています。ここで、Nを計算してみると
N=
0, 0, 0
0, 0, 0
1, -1, 0
で、零化指数2のべきゼロ行列です。つまりN^2=0。
一般に行列の積は、順序の変更は不可ですが、ところがどっこい、このP1, P2, Nは可換です！　ということは、普通の多項式のように積の展開ができるということです。
S=λ1 P1 + λ2 P2
とおきましょう。すると、射影行列の性質から
S^n=λ1^n P1 + λ2^n P2
です。A=S+Nでしたから、A^nを展開すれば、
A^n=S^n + n S N + (Nの2乗以上の項）
ですが、N^2=0であるため、Nの2乗以上の項はすべて０になって、
A^n=S^n + n S N
＝λ1^n P1 + λ2^n P2 + n S N
となります。あとは、この式に数値を入れてください。

お礼

返信が遅れてしまい、すみません。。

なんとなくですが、分かりました。
高校生なので、これを印刷して参考書などをみつつ理解したいと思います。
ありがとうございます。