3次行列のn乗なのですが

質問

はじめまして、今大学受験生のものです。
線形代数を勉強していて、解答の載っていない問題に遭遇したのですが、
ずっと考えていても私には歯が立ちませんでした。
高校行列の知識はあるのですが、それ以上の知識が必要なのでしょうか。
答えではなく、解法を示していただけると嬉しいです。

3次の、(1,1)、(2,2)、(3,3)成分がすべて1/3で、
(1,2)、(2,3)、(3,1)成分が(1+√3)/3、
(1,3)、(2,1)、(3,2)成分が(1-√3)/3
であるような行列のn乗を求めます。
点対称でもないですが、綺麗な形をしていたので簡単に
求められるのかと思ったのですが、単位行列と他に分けて二項定理？
としてみても解けず、2次と違って進みません。

分かる方お願い致します。

回答No.6

Akira_Oji · ベストアンサー

No.4ですが、「高級」な解法を「揶揄」したのではありません。arrysthmiaさんには日頃から尊敬の念を抱いております。

Ａを４乗しても「希望」が見えるかは、やってみないと分かりませんので、どちらかといえば、「ごり押し」的方法です。高校レベルでとのことでしたので、自分も高校生の頃だったら闇雲に４乗ぐらいは計算しただろうと思ったので、そのようなレベルから見れば「高級」に見えるのではないでしょうか。

今後ともよろしく。

回答No.7

Akira_Oji

No.4と6ですが、高校のときに読んだ、大学程度で高校生も読める本として、以下の小冊子を思い出しましたので、もし手に入れば、面白くかつ役にたつだろうと思いますので、書いておきます。

笠原皓司　著
現代数学社
新微分方程式対話
－固有値を軸として－
数学リーブル　１

題名は微分方程式となっていますが、微分方程式を行列を使って解くというのがこの本のお話でその中で、行列の指数関数　Ｅｘｐ（Ｍｔ）などの話がわりとやさしく「関西弁の対話形式」で書かれていて面白かったのでした。行列の冪はその中に出てきます。大学か少し大きな図書館でならあるかも知れません。勉強、頑張ってください。

回答No.5

arrysthmia

「高級」と揶揄されたのは、かなり心外。
No.2,3 は、発見的解法だと思うのだけれど。
質問者は、2 項展開を使ったベキ乗の計算が
既習だと書いており、その発展でもある。

A~4=E を見つける解法は、一見発見的ではあるけれど、
予め、何かの A~k が相当簡単な式になることを
知っていなければ、完遂できそうにない。
つまり、反ってケーリー・ハミルトンを前提にしている。

回答No.4

Akira_Oji

すでに、何人かの「高級な」回答者の方々が説明されています。固有値なんかを求めてやる、大学レベルなどの方法もありますが、（若い高校生には、元気がありますので）実際Ａ＾２，Ａ＾３を計算すると、少し「希望」が見えてきて、Ａ＾４を計算すると、単位行列Ｅになることが分かります。
したがって、
Ａ
Ａ＾２
Ａ＾３
Ａ＾４＝Ｅ（単位行列）
Ａ＾５＝（Ａ＾４）Ａ＝ＥＡ＝Ａ
Ａ＾６＝（Ａ＾４）（Ａ＾２）＝Ｅ（Ａ＾２）＝Ａ＾２

などとなります。Ａ＾２やＡ＾３はご自分で計算してください。

お礼

まじめに4乗まで計算していませんでした。
そのような発見があると楽ですね。気づきませんでした。
とても良い参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.3

arrysthmia

S = E + B + C
と置くと、更に簡明です。

回答No.2

arrysthmia

一般の行列を n 乗するには、大学で習う知識が必要ですが…
質問の行列なら、
= (1/3) E +｛(1+√3)/3｝B +｛(1-√3)/3｝C
と書いて、n 乗を
2 項展開でなく、多項展開すれば、計算できます。

お礼

なるほど。そうやるんですね。
よく分かりました。解決できました。

回答No.1

rabbit_cat

大学で習う線形代数の本をちょっと見ているってことですか？大学で習う線形代数では、行列のn乗はかなり基本的な問題なんですが、
大学受験生ってことなんで、つまり高校までの知識でってことですよね。

実は、大学で習う知識をちょっと知ってたりすると、
その行列は４乗すると単位行列になることが分かったりするんですが、
高校までの知識で、って言われるとなかなか難しいです。
高校知識だと行列の基本変形は習いませんからね。。

お礼

基本変形は自分で読んだので知っていましたが、
やはり綺麗な法則があるのですね。
コメントありがとうございました。